Yang-Mills-Theorie

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Die Yang-Mills-Theorie ist eine sogenannte nichtabelsche Eichtheorie, die zur Beschreibung der starken und schwachen Wechselwirkung herangezogen wird. Hingegen ist die Elektrodynamik zum Beispiel eine abelsche Eichtheorie.

Die Yang-Mills-Theorie geht von der Yang-Mills-Wirkung $S YM$ aus. Wendet man hier das Prinzip der kleinsten Wirkung auf die Potentialvariablen an, erhält man die Yang-Mills-Gleichungen.

Das bedeutet, dass man die Euler-Lagrange-Gleichungen von

$\mathbf S_\mathrm{YM} = \frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}\left[ *F\wedge F \right]$

zu bilden hat. Die Größe $F$ heißt Yang-Mills-Feldstärke. Die Größe $* F$ ist die zu $F$ duale Yang-Mills-Feldstärke. Eine Formel für die Yang-Mills-Feldstärke gewinnt man aus der sogenannten zweiten Maurer-Cartan-Strukturgleichung, die einen Zusammenhang $A$ (genauer gesagt dessen lokale Darstellung) eines Hauptfaserbündels (übernimmt hier die Rolle des Eichpotentials) mit der Krümmung $F$ desselben (übernimmt hier die Rolle der Feldstärke) in Verbindung bringt.

$F = \mathrm{d}A + A\wedge A$

Dabei stellt $d A$ die äußere Ableitung und " $A \wedge A$ " das äußere Produkt von Differentialformen dar. Weiterhin ist $A$ eine liealgebra-wertige 1-Form über dem Hauptfaserbündel und $F$ eine liealgebra-wertige 2-Form über diesem Hauptfaserbündel.

Physikalisch betrachtet man meist eine kompakte, halbeinfache Liegruppe $G$ , etwa $S U (N)$ oder $S O (N)$ , deren anti-hermitische Generatoren folgende Kommutationsrelation erfüllen:

$\left[ T_\alpha, T_\beta \right] = f_{\alpha\beta}^\gamma \, T_\gamma$

Die $f_{\alpha\beta}^\gamma$ heißen Strukturkonstanten der Liegruppe. Ein Element $U$ von $G$ in der Nähe des Einselements wird dann durch die Gleichung

$U = e^{- \theta^\alpha\, T_\alpha}$

dargestellt.

Wir stellen uns ein Dirac-Feld $ψ$ (etwa die Wellenfunktion eines Elektrons, im Falle der elektromagnetischen Theorie) vor, welches sich unter $U\in G$ durch

$\psi \to U\,\psi$ bzw. $\overline{\psi} \to \overline{\psi}\, U^\dagger$

transformiert. Die Lagrange-Funktion, die die Bewegungsgleichungen des Teilchens nach Variation ergibt, sieht üblicherweise wie folgt aus:

$\mathcal{L} = \overline{\psi}\, \left[ i\, \gamma^\mu \left( \partial_\mu + g\, A_\mu \right) + m \right] \psi$

wobei $g$ die oben angegebene Kopplungskonstante ist. Diese Lagrange-Funktion beschreibt die Kopplung des Feldes $A$ an die Materie $ψ$ . Der Ausdruck $\partial_\mu + g\, A_\mu =: \nabla_\mu$ wird im Standardmodell kovariante Ableitung oder minimale Kopplung genannt. Die Variablen $A μ$ bilden im Wesentlichen die Komponenten der liealgebra-wertigen 1-Form $A$ .

Die Feldgleichungen, die man aus der Variation der Wirkung $S YM$ erhält, sind durch

$\mathcal{D}F = \mathrm{d}F + g\, A \wedge F = 0$

gegeben.

Wenn die Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung der starken Wechselwirkung eingesetzt wird (eine $S U (3)$ -Eichtheorie), dann bildet $A$ das Gluonfeld und die $T α$ stellen die acht Gluonenarten dar. ( $S U (3)$ hat 8 Generatoren, üblicherweise werden die sog. Gell-Mann-Matrizen in einer Darstellung der $S U (3)$ verwendet.)

Die Behandlung Yang-Mills-Theorie wurde vom Clay Mathematics Institute in ihre Liste der Millennium-Probleme aufgenommen.

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Kategorie: Theoretische Physik

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