Value at Risk
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Der Begriff Risikowert oder englisch Value at Risk (VaR) bezeichnet ein Risikomaß, das den geschätzten, maximalen (Marktwert-)Verlust einer Risikoposition nach einer vorgegebenen Periode (=Haltedauer) angibt, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit unter üblichen Marktbedingungen nicht überschritten wird.
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[Bearbeiten] Überblick
Ein Value at Risk kann grundsätzlich für verschiedenste Haltedauern und Konfidenzniveaus ermittelt werden. Typische Haltedauern für Handelspositionen sind 1 Tag oder 10 Tage. Bei illiquiden Marktpreisrisikopositionen werden auch 1 Monat oder 3 Monate verwendet. Kreditrisiken werden üblicherweise unter Zugrundelegung eines Zeithorizonts von einem Jahr bewertet. Die Haltedauer (Periode) wird mit T bezeichnet.
Ursprünglich kamen als Konfidenzniveau Werte von 95% oder 99% zur Anwendung. Inzwischen setzen sich zunehmend auch höhere Konfidenzniveaus durch (99,9% bis zu 99,99%), dies vor allem, um gegenüber externen Ratingagenturen ein Solvenzniveau zu demonstrieren, das mindestens dem angestrebten Rating entspricht.
Ein höheres Konfidenzniveau (Quantil) hat einen (deutlich) höheren VaR zur Folge, ebenso ergibt sich mit steigender Haltedauer ein höherer VaR.
Das Konzept stammt ursprünglich aus dem Bankensektor und diente der Quantifizierung von Marktrisiken. J.P. Morgan entwickelte den Ansatz weiter, so dass der Ansatz heute Standard in der bankinternen Steuerung und in der bankaufsichtlichen Risikobegrenzung ist. Heute wird das Konzept auch in vielen Industrie- und Handelsunternehmen für Risiken aller Art eingesetzt. Der VaR ist ein Downside-Riskmaß, das nur auf Verluste abstellt, ohne Chancen zu berücksichtigen.
[Bearbeiten] Ermittlung des Value at Risk
Bei der praktischen Ermittlung des Value at Risk müssen folgende Faktoren berücksichtigt werden:
[Bearbeiten] Marktfaktoren
relevante Auswirkungen der Volatilitäten und Korrelation
[Bearbeiten] Konfidenzniveau
Wahrscheinlichkeit mit der der berechnete Value at Risk nicht überschritten werden darf
[Bearbeiten] Haltedauer
Zeitraum über den der erwartete Verlust realisiert/gehedgt wird
[Bearbeiten] Beobachtungszeitraum
zur Bestimmung von statistischen Parametern zur Berechnung des Value at Risk
Der Varianz-Kovarianz-Ansatz ist die wichtigste Methode zur Ermittlung des Value at Risk. Alternative Ansätze sind die historische Simulation sowie die Monte-Carlo-Simulation.
[Bearbeiten] Varianz-Kovarianz-Ansatz
Beim Varianz-Kovarianz-Ansatz wird zur Ermittlung des VaR davon ausgegangen, daß sich die Marktpreisänderungen wie eine Logarithmische Normalverteilung verhalten. Als Maß für die Veränderung der Marktpreise werden Volatilitäten, die auf der Standardabweichung bzw. der Varianz der Verteilung der Marktpreise beruhen, aus historischen Zeitreihen der Marktpreise ermittelt. Eine hohe Volatilität impliziert einen hohen VaR und vice versa. Die Güte des VaR steht damit eng im Zusammenhang mit der Güte der Ermittlung der Volatilitäten, die ihrerseits u.a. abhängt von der Länge der betrachteten historischen Zeitreihe, der Gewichtung der historischen Preise bei der Ermittlung der Volatilität und schließlich von der Gültigkeit der historischen Werte als Schätzer für zukünftige Marktpreisänderungen. Bei Portfolien sind außerdem die Korrelation zwischen den Einzelwerten des Gesamtportfolios zu ermitteln und bei der Berechnung des Portfolio-VaR zu berücksichtigen.
Vorteile
- keine Szenarien notwendig
- kein Einfluß historischer Besonderheiten
Nachteile
- Behandlung von Optionselementen ist problematisch. Ein seperates Gamma-Add-On und Vega-Add-On sind notwendig
- Die VaR-Zahlen beruhen auf Verteilungsannahmen
[Bearbeiten] Historische Simulation
Bei der historischen Simulation werden Vergangenheitsdaten als repräsentativ betrachtet, d.h. es wird unterstellt, dass die Vergangenheit sich in den Zahlungen wiederholt.
Der Portefeuillewert bestimmt sich als eine Funktion der Marktfaktoren. Aus den Marktdaten werden relative Veränderungen der Werte der Marktfaktoren ermittelt. Dann werden mögliche Werte für die Marktfaktoren am Folgetag bestimmt. Die Differenz zwischen diesen Werten und dem heutigen Portefeuillewert ergibt Gewinne und Verluste. Ist der drittschlechteste Wert negativ, so ist dies im Absolutbetrag der Value at Risk, ansonsten Null.
Vorteile
- Relativ einfach zu berechnen
- Keine weiteren mathtematisch-statistischen Annahmen (z.B. Normalverteilungs-Annahme) notwendig
- Funktioniert auch für Optionen und andere Derivate
Nachteile
- Nur historisch beobachtete Szenarien werden betrachtet
- Begrenzte Anzahl von Szenarien, was zu einem hohen Gewicht einzelner Ereignisse führt
[Bearbeiten] Monte-Carlo-Simulation
Die Monte-Carlo-Simulation ist ähnlich der historischen Simulation mit dem Unterschied, dass die Parameter frei wählbar sind.
Value at Risk unter Normalverteilungsannahme
Der Value at Risk unter Normalverteilungsannahme berechnet sich wie folgt:
VaRα = μ + σ1 − α
Demnach hängt das Vorzeichen des VaR von den Werten μ, σ und α ab. In der Regel sind diese jedoch in Größenordnungen, dass der VaR negativ wird. In der Literatur findet sich auch ein in der Regel positiv definierter VaR, der durch Hinzufügen eines negativen Vorzeichens in die Definition entsteht:
VaRα * ( − 1) = μ + σ1 − α
Vorteile
- Beliebig viele Szenarien
- Einzelne Szenarien haben ein geringeres Gewicht als bei der Historischen Simulation
Nachteile
- Die Zahlen beruhen auf Verteilungsannahmen
- Die VaR-Zahl ist letztendlich eine Zufallszahl
- Hoher Rechenaufwand notwendig
- Berücksichtigung von Optionselementen ist aufgrund der Verteilungsannahme problematisch. In der Praxis ist ein Vega-Add-On notwendig
[Bearbeiten] Einsatz
[Bearbeiten] Steuerung der Marktpreisrisiken
Kreditinstitute nutzen das Instrument des VaR zur Steuerung der Marktpreisrisiken. Neben den aufsichtsrechtlichen Standardverfahren können die sogenannten internen (VaR-)Modelle zur Ermittlung des im aufsichtsrechtlichen Meldeverfahren erforderlichern Eigenkapitals von Marktpreisrisiken genutzt werden.
[Bearbeiten] Beispiel
Value at Risk als Maß für die Marktrisiken im Handelsbuch der Deutschen Bank
Konfidenzniveau 99%, Haltedauer intern 1 Tag, aufsichtsrechtlich 10 Tage, Beobachtungszeitraum: 261 Handelstage, verwendetes Verfahren ist die Monte-Carlo-Simulation (Varianz-Kovarianz-Ansatz).
Es werden alle wesentlichen Risikofaktoren betrachtet und normale Marktbedingungen unterstellt. Die Korrelation findet Berücksichtigung.
VaR der Handelsbereiche: Diversifikationseffekte, betrachtete Risiken: Zinsrisiko, Aktienkursrisiko, Währungsrisiko und Rohwarenrisiko. Erträge des Handelbereichs sind in etwa gleichlaufend mit dem VaR.
Diversifikationseffekt spielt eine wichtige Rolle. Dabei wird die Korrelation beobachtet zwischen den einzelnen Risiken. Es findet eine sehr konservative Risikoschätzung statt, der VaR wird an keinem Tag erreicht.
[Bearbeiten] Auffangen von Kreditrisiken
Eine wichtige Rolle spielt dabei die IRB-Formel. Dabei werden die Risiken des Kreditportfolios mit großer Wahrscheinlichkeit durch Eigenmittel aufgefangen, was dem Konzept des Value at Risk entspricht.
Die Güte des VaR ist durch Backtesting, bei dem die prognostizierten Portfoliowertänderungen mit den tatsächlichen Wertänderungen des Portfolios verglichen werden, zu belegen.
[Bearbeiten] Risikomanagement mit Value at Risk
Der aktuelle Wert eines Portfolios in Stücken ist die Summe aus dem Produkt
- Wert des Instrumentes pro Stück multipliziert
- mit dem Stück des Portfolios.
Die Wertänderung bestimmt sich aus der Differenz des aktuellen Portfoliowertes in Periode 1 minus dem Wert in Periode Null. Der Zeitraum der bei Banken verwendet wird ist ein Tag, bei der BaFin 10 Tage.
Die Idee des Risikomanagements ist die Kontrolle des Risikos dieser Wertveränderung. Dies geschieht durch Bindung an die Höhe des Eigenkapitals.
Der Value at Risk eines Portfolios ist die erwartete Wertveränderung abzüglich des Mittels der standardnormalverteilten Zufallsvariable z (z.B. 2,33 bei einem Konfidenzniveau von 99%).
Der Erwartungswert der Wertveränderung ist die Summe aus dem Produkt von:
- Erwartungswert jedes einzelnen Instruments im Portfolio,
- dem Wert des Instrumentes,
- die Anzahl Stücke dieses Instrumentes im Portfolio und des
- Zeitraums.
Das Risiko der Wertveränderung ist die Wurzel aus den Summen aus
- Korrelation
- Standardabweichungen
- Wert von Instrumenten
- Stücke von Instrumenten
Der Value at Risk soll nun kleiner sein als das Eigenkapital durch M, wobei M zwischen 3 und 4 liegt.
[Bearbeiten] Value at Risk und Diversifikation
[Bearbeiten] Kritik
Nachteilig ist an dem Modell, dass es nicht geeignet ist, den Maximalverlust zu bestimmen. Zudem führen sog. fat tails zu Verzerrungen in der Bewertung. Generell wird die Verteilung linksseitig des VaR vernachlässigt. Abhilfe leistet dabei etwa die Analyse des Expected Short Fall, also der Erwartungswert der Verteilung unter der Bedingung, dass die Veränderung mindestens so hoch ist wie der VaR. Außerdem ist der VaR kein kohärentes Risikomaß (subadditiv). Der VaR ist für unstetige Schadensverteilungen nicht stetig. In den VaR geht nur das Quantil (der Beginn des Schwanzes) ein, nicht aber die Gestalt des Schwanzes der Verteilung.
- Siehe auch: Cashflow at Risk
