Tschebyschow-Polynom

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Tschebyschow-Polynome (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, oft auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev in der Literatur zu finden) sind in der Mathematik Polynome T_n(x), die sich als Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

ergeben. Mit beliebigen A und B ist die Lösung die Funktion

Man kann die für ganzzahlige Reihen abbrechenden Lösungen so normieren, dass T_n(1) = 1 gilt, sodass sich die Tschebyschow-Polynome T₀(x) ergeben.

Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

T₀(x) = 1

T₁(x) = x

T₂(x) = 2x² − 1

T₃(x) = 4x³ − 3x

T₄(x) = 8x⁴ − 8x² + 1

T₅(x) = 16x⁵ − 20x³ + 5x

T₆(x) = 32x⁶ − 48x⁴ + 18x² − 1

Sie können in allgemeiner Weise aus berechnet werden.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als oder T_n(cosθ) = cos(nθ).

Die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms T_n(x) sind für j = 0,...,n − 1.

[Bearbeiten] Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyschefffiltern verwendet.