Spatprodukt

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Das Spatprodukt dreier Vektoren, eine Kombination von Kreuzprodukt und Skalarprodukt, ist die Größe des orientierten Volumens des Spats, der durch die drei Vektoren aufgespannt wird. Unter orientiertem Volumen versteht man dabei das Volumen multipliziert mit dem Faktor +1, falls die Vektoren ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden, und multipliziert mit −1, falls sie ein linkshändiges Koordinatensystem bilden.

Das Spatprodukt ist gegeben durch:

$V_{\vec{a},\vec{b},\vec{c}} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}= (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}= (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}=\det\begin{pmatrix} a_x & b_x & c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z \end{pmatrix}$

Das Spatprodukt dreier Vektoren ist also identisch zur Determinante der Matrix, die diese Vektoren als Spaltenvektoren besitzt.

Das Spatprodukt ergibt genau dann Null, wenn die Vektoren in einer Ebene liegen, also komplanar beziehungsweise linear abhängig sind. In diesem Fall hat auch der Volumeninhalt des aufgespannten Spates den Wert Null.

Wie schon oben verwendet, gilt allgemein

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ .

Es kann also gewissermaßen bei entsprechend angepasster Klammerung (die anders übrigens unsinnig wäre) die beiden Rechenzeichen "vertauschen". Der Beweis kann durch einfaches Ausrechnen erbracht werden. Wegen dieser Möglichkeit der zyklischen Vertauschung findet man auch Notierungen des Spatprodukts, bei denen die Rechenzeichen einfach weggelassen sind:

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]$ .

Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der antizyklischen Vertauschung ein Vorzeichenwechsel auf:

$\left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = - \left( \vec{b}, \vec{a}, \vec{c} \right)$

Weiter gilt wegen $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$ :

$\left( \vec{a}, \vec{a}, \vec{b} \right) = 0$

Auch die Muliplikation mit einem Skalar $\alpha \in \mathbb{R}$ ist assoziativ:

$\left( \alpha \cdot \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = \alpha \cdot \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right)$

Und es gilt eine Art Distributivgesetz:

$\left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} + \vec{d} \right) = \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) + \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{d} \right)$

[Bearbeiten] Geometrische Herleitung

Das Volumen eines Spats errechnet sich aus dem Produkt seiner Grundfläche und seiner Höhe.

$V = A_g \cdot h$

Bekanntlich ist das Kreuzprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ genau der Normalenvektor auf der durch a und b aufgespannten Grundfläche und dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt dieser Fläche ist, also $A_g=\left| \vec{a}\times\vec{b} \right|$ .

Die Höhe des Spats ist die Projektion des Vektors c auf die Richtung dieses Normalenvektors (dessen Einheitsvektor). Wenn diese den Winkel α einschließen, gilt nach der Definition des Skalarprodukts

$h = \left| \vec{c} \right| \cos \alpha = \hat e_{\left(\vec{a} \times \vec{b}\right)} \cdot \vec{c}$

Es folgt

$V = A_g \cdot h = \left| \vec{a}\times\vec{b} \right| ( \hat e_{\left(\vec{a} \times \vec{b}\right)} \cdot \vec{c}) = \left(\vec{a} \times \vec{b}\right) \cdot \vec{c}$