Schwarzschild-Metrik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

In der Physik, speziell im Rahmen der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie bezeichnet Schwarzschild-Metrik die Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen im statischen, sphärisch-symmetrischen Fall. Sie wurde 1915 von dem deutschen Astronom und Physiker Karl Schwarzschild gefunden und war die erste bekannte exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen.

[Bearbeiten] Linienelement

Das Linienelement beschreibt das äußere Gravitationsfeld eines nichtrotierenden, elektrisch neutralen Körpers. In Schwarzschild-Koordinaten hat es die Form:

${d}s^2=g_{ik}{d}x^i{d}x^k=-\left ( 1-\frac{2M}{r} \right ){d}t^2+\frac {1}{1-\frac{2M}{r}}{d}r^2 +r^2{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta{d}\phi^2$ ,

wobei das natürliche Maßsystem (c=1) gewählt wurde. Durch die Ersetzung von M durch km/c², mit k als Gravitationskonstante und t durch ct, schließt man wieder an das physikalische Maßsystem an. Die Ausdrücke vor den Koordinatendifferenzialen sind die Komponenten des zweistufigen metrischen Tensors $g i k$ . M entspricht bis auf konstante Faktoren der gravitierenden Zentralmasse m.

Das Linienelement kann auf zwei Arten interpretiert werden:

1. Deutet man die radiale Koordinatenlinie r als real begehbaren Weg, so stellt der im Linienelement enthaltene metrische Tensor ein Spin-2-Feld dar. Dass dieses Feld Gleichungen gehorcht, die sich aus der Theorie gekrümmter Räume herleiten lassen, wird in diesem Fall nur als beiläufig erachtet. Für $r s = 2 M$ wird der radiale Teil der Metrik singulär. Man nennt $r s$ den Schwarzschildradius oder Ereignishorizont. Für r < 2M schreibt man

$\sqrt{\frac {1}{1-\frac{2M}{r}}}{d}r=i\sqrt{\frac {1}{\frac{2M}{r}-1}}{d}r ,\quad i\sqrt{1-\frac{2M}{r}}{d}t=\sqrt{\frac{2M}{r}-1}{d}t,\quad i=\sqrt{-1}$

Innerhalb des Schwarzschildradius wird das radiale Linienelement zeitartig, das vormals zeitartige Linienelement raumartig. Ein stellares Objekt, das sich nach einem Gravitationskollaps auf einen Bereich innerhalb des Schwarzschildradius zusammengezogen hat, wird als Schwarzes Loch bezeichnet. Daran knüpfen sich weitere Spekulationen, wie die Einstein-Rosenbrücke und Wurmlöcher, über die man entfernte Regionen des Weltalls oder auch Paralleluniversen erreichen kann.

2. Die andere Interpretation lehnt sich an die ursprüngliche Konzeption Einsteins an, Gravitation als Krümmung des Raumes zu verstehen. Unsere Erfahrungswelt wäre dann eine vierdimensionalen Fläche, die in einen höherdimensionalen ebenen Raum eingebettet werden kann. Die Krümmungen dieser Fläche bestimmen die Gravitationswirkungen. Für den Raumteil des Schwarzschildmodells lässt sich die dahinterliegende Geometrie recht einfach offenlegen. Das radiale Linienelement ist ein Element auf der (liegenden) Parabel $R^2=8M\left ( r-2M\right)$ , wobei R der Bezeichner für die Extradimension ist. An r = 0 liegt die Leitlinie der Parabel und an r = 2M ihr Scheitel. Rotiert man den oberen Ast der Parabel (R > 0) um die Leitlinie durch den Winkel $θ$ , erhält man unter Hinweglassung der letzten zwei Dimensionen eine Fläche 4. Ordnung, das Flammsche Paraboloid.

Das Flammsche Paraboloid

Die Koordinate r ist im Rahmen dieser Betrachtung kein begehbarer Weg, sondern eine Hilfsvariable. An $r s = 2 M$ befindet sich eine Scheinsingularität, die durch eine geeignete Wahl der Koordinaten behoben werden kann. Für r < 2M kann dieses Modell keine Aussagen machen, die Variable r hat den Wertebereich $\left [{2M, \infty} \right]$ . Das am Flammschen Paraboloid entstehende 'Loch' wird mit einer weiteren Fläche überdeckt, die aus der Inneren Schwarzschildschen Lösung hergeleitet werden kann. Das Vollständige Schwarzschildmodell beschreibt das Innere und Äußere eines nichtrotierenden stellaren Objekts.

Die Extradimension R wird aus Gründen der Nützlichkeit eingeführt und dient zur Veranschaulichung der geometrischen Verhältnisse. Ihr braucht keine physikalische Realität zugeordnet werden. Gekrümmte Räume können durch ihre inneren Eigenschaften ohne Zuhilfenahme eines Einbettungsraums beschrieben werden und unser Anschauungsvermögen lässt auch nicht mehr als vier Dimensionen zu.

Frei fallende Beobachter erreichen unabhängig von ihrer Ausgangsposition an $r s = 2 M$ die Lichtgeschwindigkeit und die Schwerkraft $g=-\frac{1}\sqrt{1-{2M \over r}}\frac {M}{r^2}=-\frac{1}{\rho}\tan\epsilon$ wird dort unendlich groß. $\rho=\sqrt{2r^3\over M}$ ist der Krümmungsvektor der Schwarzschildparabel und $ε$ ihr Anstiegswinkel. Eine geeignete Anpassung der Inneren Lösung mit $r i > r s$ umgeht diesen problematischen Sachverhalt.

[Bearbeiten] Anwendungen

Obwohl die Schwarzschild-Metrik nur näherungsweise das Feld eines stellaren Objekts beschreibt, so führt sie auf unser Sonnensystem angewendet zu befriedigenden Ergebnissen. Die mit ihrer Hilfe berechneten Werte für die Ablenkung des Lichtes an der Sonne und der Periheldrehung der inneren Planeten stimmen mit den Beobachtungen gut überein.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Originalarbeiten

K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Berlin. Sitzungsberichte, 1916, p. 189
K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Berlin. Sitzungsberichte, 1916, p. 424
L. Flamm, Beiträge zur Einsteinschen Gravitationstheorie. Phys. Z. 17, 448, 1916

Weiterführende Literatur

M. v. Laue, Die Relativitätstheorie, Band II. Die allgemeine Relativitätstheorie. Vieweg, Braunschweig 1956
C. Møller, The theory of relativity. Oxford University Press 1972
A. S. Eddington, The mathematical theory of relativity. Cambridge, University Press 1963
S. W. Hawking, G. F. R. Ellis, The large scale structure of space-time. Cambridge, University Press 1974
P. Jordan, Schwerkraft und Weltall. Vieweg, Braunschweig 1955
Ya. B. Zeldovich, I. D. Novikov, Relativistic Astrophysics. The University of Chicago Press, Chicago and London 1971
W. Rindler, Essential Relativity. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1977

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/c/h/Schwarzschild-Metrik_9d19.html“

Kategorie: Allgemeine Relativitätstheorie