Kruskal-Beschleunigung

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Neben den Standard-Schwarzschild-Koordinaten werden zur Beschreibung des Gravitationsfelds eines nichtrotierenden stellaren Objekts auch die Kruskal-Szekeres-Koordinaten verwendet, die die Singularität des Schwarzschild-Linienelements

${d}s^2=\frac {1}{1-\frac{2M}{r}}{d}r^2 +r^2{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta{d}\phi^2 -\left ( 1-\frac{2M}{r} \right ){d}t^2$ ,

bei r = 2M vermeiden.

[Bearbeiten] Das Koordinatensystem

Mit den Kruskal-Koordinaten lässt sich auch der innere Bereich (r < 2M) der Schwarzschild-Lösung beschreiben, der als Schwarzes Loch interpretiert werden kann. Mit den Koordinatentransformationen

$I \ \ \ \ \ \qquad u^1=\sqrt {\frac {r}{2M}-1} \ e^\frac{r}{4M} \ ch \frac {t}{4M}, \quad \ \ \ u^0=\sqrt {\frac {r}{2M}-1} \ e^\frac{r}{4M} \ sh \frac {t}{4M},\quad \qquad r >2M$ $II \; \ \ \qquad u^1=\sqrt {1-\frac {r}{2M}} \ e^\frac{r}{4M} \ sh \frac {t}{4M}, \quad \ \ \ u^0=\sqrt {1-\frac {r}{2M}} \ e^\frac{r}{4M} \ ch \frac {t}{4M}, \quad \qquad r<2M$ $III \ \qquad u^1=-\sqrt {\frac {r}{2M}-1} \ e^\frac{r}{4M} \ ch \frac {t}{4M}, \quad u^0=-\sqrt {\frac {r}{2M}-1} \ e^\frac{r}{4M} \ sh \frac {t}{4M}, \qquad r > 2M$ $IV \ \ \qquad u^1=-\sqrt {1-\frac {r}{2M}} \ e^\frac{r}{4M} \ sh \frac {t}{4M}, \quad u^0=-\sqrt {1-\frac {r}{2M}} \ e^\frac{r}{4M} \ ch \frac {t}{4M}, \qquad r<2M$

erhält man die Kruskal-Metrik

${d}s^2=\frac {32M^3}{r}e^{- \frac {r} {2M}}\left(du^{1^2} -du^{0^2}\right) +r^2{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta{d}\phi^2$ .

Das Kruskal-Koordinatensystem überdeckt (bis auf r = 0) singularitätsfrei den äußeren Bereich (r > 2M) und den inneren Bereich (r < 2M). Es beschreibt vier Regionen, zwei mehr als die Schwarzschild-Metrik. Es wird daher auch von der vierfachen Wahrheit gesprochen. Die erste und dritte Region beschreibt das äußere Schwarzschild-Feld, die beiden anderen das innere. Im Besonderen wird die 2. Region als Schwarzes Loch und die 4. Region als Weißes Loch gedeutet. Dieser Sachverhalt wird durch das Kruskal-Diagramm beschrieben.

Kruskaldiagramm

Die Hyperbeln sind die r-Kurven, die stark ausgezogenen Kurven entsprechen r = 0. Die Geraden sind die t-Kurven. Die 45°-Geraden stehen im Besonderen für $t=\pm\infty$ , bzw. für r = 2M. Die Achsenkreuze entsprechen t = 0. Eine ausführliche Diskussion des Sachverhalts findet man in dem unten genannten Buch von Wolfgang Rindler. Die Schwarzschild-Metrik kann auf zwei Arten interpretiert werden. Die radiale Variable r hat entweder den Wertebereich $[0,\infty]$ mit einer Koordinatensingularität beim Ereignishorizont r = 2M und beschreibt daher auch den inneren Bereich r < 2M. Oder man interpretiert die Schwarzschild-Metrik als Metrik einer vierdimensionalen Fläche, eingebettet in einen höherdimensionalen ebenen Raum. In diesem Fall hat r den Wertebereich $[2M,\infty]$ und die Theorie kann keine Aussagen über den inneren Bereich r < 2M machen. Es wäre zweckmäßig herauszufinden, welche der beiden Beschreibungen die geeignetere ist. Auf den ersten Blick scheint die Kruskal-Metrik eine rein geometrische Behandlung im Sinne der Flächentheorie mit Bezug auf das Flammsche Paraboloid auszuschließen. Eine genauere Analyse zeigt jedoch, dass die Kruskal-Metrik ebenfalls zu keiner Entscheidung führt. In der obigen Koordinatentransformation kann man in der 2. und 4. Region durch Herausheben von i aus der Wurzel erzwingen, dass der Parameter r nur für den Wertebereich $[2M,\infty]$ gültig ist. Man erhält dann für die vier Regionen

$u^1= Y \ cos \ i \chi \qquad \ u^1= - \ Y \ sin \ i \chi \qquad \ \ u^1= - \ Y \ cos \ i \chi \qquad \ u^1= - \ Y \ sin \ i \chi$ $u^4= Y \ sin \ i \chi \qquad \ u^4= - \ Y \ cos \ i \chi \qquad \ \ u^4= - \ Y \ sin \ i \chi \qquad \ \ u^4= \ \ \ Y \ cos \ i \chi$ .

$u^4=iu^0, Y\left(r \right)= \frac {\sqrt{1-2M/r}} {\sqrt{2M/r}} e^{\frac{r}{4M}}, \qquad Y\left( 2M \right)=0, \qquad \chi = \frac {t} {4M}$ .

[Bearbeiten] Die Lorentztransformation

Differenziert man $u 1$ und $u 4$ für die 1. und 3. Region und misst die Koordinatendifferenziale mit dem lokalen Maß $e_{1}^{1'}$ und $e_{4}^{4'}$ , das man aus der Kruskal-Metrik abliest, erhält man eine Lorentztransformation mit dem Lorentzwinkel $χ$ , die die Kruskal-Koordinatentransformation begleitet.

$dx^{m'}=e_{i}^{m'}du^i=L_{m}^{m'}dx^m$

$L_{1}^{1'}=\cos i\chi , \quad L_{1}^{4'}=-\sin i\chi , \quad L_{4}^{1'}=\sin i\chi , \quad L_{4}^{4'}=\cos i\chi$ .

Die $d x m$ sind die Differenziale der Standard-Schwarzschild-Metrik. Die Lorentztransformation entspricht einer lokalen Rotation in den Tangentialräumen auf der Fläche, die durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben wird. Aus der Lorentztransformation liest man die lokale Kruskal-Geschwindigkeit

Kruskalgeschwindigkeiten

$v_K=th \; \chi$

ab, die ein Objekt erhält, das vom Gravitationszentrum radial wegbeschleunigt wird. Bei einer Bewegung zum Gravitationszentrum hin erhält man mit Zeitumkehr $\chi \rightarrow \chi$

$v_K=-th \; \chi$ .

Der höchste Wert für $th \; \chi$ ist 1, die Lichtgeschwindigkeit im natürlichen Maßsystem. Für die 2. und 4. Region kommt man mit dem selben Verfahren auf die Kruskal-Geschwindigkeit

$v_K=cth \; \chi$ .

Diese Bewegung ist tachyonisch (Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit) und die beiden Regionen scheiden aus physikalischen Gründen aus.

Aus den Einsteinschen Feldgleichungen, die von der Kruskal-Metrik erfüllt werden, entkoppelt eine Beziehung für die Kruskal-Feldstärke

$K_m= \frac{1} {4Mcos \; \epsilon} \{cos \ i\chi,0,0,sin \ i \chi\}$ .

Die Entkoppelung leitet sich aus der Lorentzinvarianz der Einsteinschen Feldgleichungen her und erhellt, dass das Kruskal-Bezugssystem eine lokale Struktur ist, das über die Riemannschen Eigenschaften der Theorie hinausgeht. Im Standard-Schwarzschild-Bezugssystem hat sie die einfache Form

$K_m= \frac{1} {4Mcos \; \epsilon} \{1,0,0,0,\}$ .

Kruskalbeschleunigung

Die Kruskal-Feldstärke ist ebenso wie die Schwarzschildsche Gravitationsfeldstärke ausschließlich durch geometrische Größen bestimmt, dem Formparameter der Schwarzschild-Parabel M und ihrem Anstiegswinkel $ε$ . Die effektive Beschleunigung erhält man, indem man zur Kruskal-Beschleunigung die negative Schwarzschild-Beschleunigung (Schwerebeschleunigung) addiert. Das Ergebnis ist in dem nebenstehenden Diagramm dargestellt.

Die Kruskal-Beschleunigung mag für interstellare Flüge eine ökonomische Beschleunigung sein. Mit verbesserten Triebwerken könnte ein Raumschiff nahe an die Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden. Wenn sich Astronauten etwas Zeit nehmen, könnten sie ferne Sternensysteme erreichen, sofern sie darauf verzichten, ihre Heimat in ihrem Jahrtausend wieder zu erreichen.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Originalarbeiten

M. D. Kruskal, Maximal extension of Schwarzschild metric. Phys. Rev. 119, 1743, 1960
G. Szekeres, On the singularities of a Riemannian manifold. Publ. Mat. Debrecen 7, 285, 1960.

Weiterführende Literatur

C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation. Freeman and Company, San Francisco 1973
W. Rindler, Essential Relativity. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1977

Von „http://de.wikipedia.org../../../k/r/u/Kruskal-Beschleunigung_3ef0.html“

Kategorie: Allgemeine Relativitätstheorie