Reynolds-Gleichungen

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Die Reynolds-Gleichungen (nach Osborne Reynolds) sind eine Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen.

Da für turbulente Strömungen mit technisch relevanten Reynolds-Zahlen die Navier-Stokes-Gleichungen nicht (oder nicht mit vertretbaren Aufwand) numerisch berechnet werden können (-> direkten numerischen Simulation) werden die Größen in einen Mittelwert und einen Schwankungswert aufgeteilt. Zur Lösung wird dann ein Turbulenzmodell benötigt.

Im folgenden soll eine kurze Herleitung der Reynoldsgemittelten Navier-Stokes Gleichungen angegeben werden. In den Navier-Stokes Gleichungen werden die Momentanwerte der Geschwindigkeitskomponenten und des Druckes ersetzt durch die jeweilige Addition von Mittelwert und statistischer Schwankung. Die Mittelung muss hierbei als Ensemblemittelung verstanden werden, um die Instationarität der als Ausgangspunkt dienenden Navier-Stokes Gleichungen in Operatorschreibweise:

$\rho \left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} + \mathbf{u} (\nabla \cdot \mathbf{u})\right)= \mathbf{f} -\nabla p + \eta \nabla \cdot\left(\nabla \mathbf{u}+\left(\nabla \mathbf{u}\right)^T-\frac{2}{3}(\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{I}\right)$ .

bzw. in Einstein'scher Summenkonvention:

$\rho \frac{\partial u_{i}}{\partial t} + \rho \left( \frac{\partial u_{i} u_{j}}{\partial x_{j}}\right) = f_{i} -\frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{2}{3}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}\delta_{ij}\right)$ .

beizubehalten. Es werden nun die oben angesprochenen Größen, $u_{i} = \bar{u_{i}} + u_{i}'$ und $p = \bar{p} + p'$ in die obige Gleichung eingesetzt und eine Ensemble-Mittelung durchgeführt. Dichte- und Viskositätsschwankungen werden vernachlässigt. Daraus folgt:

$\rho \frac{\partial \bar u_{i}}{\partial t} + \rho \left( \frac{\partial \bar u_{i} \bar u_{j}}{\partial x_{j}}\right) = \bar f_{i} -\frac{\partial \bar p}{\partial x_{i}} + \eta \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\frac{\partial \bar u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial \bar u_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{2}{3}\frac{\partial \bar u_{k}}{\partial x_{k}}\delta_{ij}\right) - \rho \left( \frac{\partial}{\partial x_{j}}\underbrace{\overline{ u_{i}' u_{j}'}}_{RST}\right)$ .

Der aus der Mittelung resultierende Term folgt aus der nicht zu vernachlässigenden Geschwindigkeitkorrelation : $\overline{u_{i}' u_{j}'}$ . Dieser Tensor wird Reynolds-Spannungstensor (RST) genannt.