Reduzierte Masse

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Das Konzept der reduzierten Masse dient dazu, physikalische Zwei-Körper-Probleme in einfacher zu lösende Ein-Körper-Probleme zu wandeln.

Zwei Körper (Massen $m 1$ , $m 2$ ) bewegen sich aufgrund von Kräften (Gravitationskraft, Coulomb-Kraft) um den gemeinsamen Schwerpunkt. Man kann dieses Problem jedoch leicht auf ein Einkörper-Problem zurückführen, bei dem sich ein Körper der reduzierten Masse $m red$ im Abstand $r$ um eine feste Masse $M$ bewegt. Dabei entspricht $r$ dem (relativen) Abstand zwischen den beiden Körpern und ersetzt die (absoluten) Ortskoordinaten des Zweikörper-Problems.

Die reduzierte Masse ist geringer als die kleinere der beiden ursprünglichen Massen. Sie ist wie folgt definiert:

$\frac {1} {m_\mathrm{red}} = \frac {1} {m_\mathrm{1}} + \frac {1} {m_\mathrm{2}}$

was äquivalent ist zu

$m_\mathrm{red} = {1 \over {{1 \over \mathrm{m_1}} + {1 \over \mathrm{m_2}}}} = {{m_\mathrm 1 m_\mathrm 2} \over {m_\mathrm 1 + m_\mathrm 2}}$ .

In vielen Fällen (Planetensysteme, Atomkern-Elektron-Systeme) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers um mehrere Größenordnungen. In diesem Fall ist die reduzierte Masse mit der wirklichen Masse des leichteren Teilchens nahezu identisch:

${ m_\mathrm 1 \rightarrow \infty }$

${1 \over {m_\mathrm 1}} \rightarrow 0$

$m_\mathrm{red} \approx {1 \over {0 + {1 \over m_\mathrm 2}}}=m_\mathrm 2$

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben µ abgekürzt.

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Die Gesamtdrehimpulse vor und nach der Vereinfachung müssen gleich sein. Das gilt auch für die Winkelgeschwindigkeit $ω$ der beteiligten Körper. $r 1$ bzw. $r 2$ sei der Abstand von $m 1$ bzw. $m 2$ zum gemeinsamen Schwerpunkt.

$m_1 r_1^2 \omega + m_2 r_2^2 \omega = \mu (r_1+r_2)^2 \omega$

$m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 = \mu (r_1+r_2)^2$

$\mu = \frac{m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2}{(r_1+r_2)^2}$

Mit dem Schwerpunktsatz ${m_1 \over m_2}={r_2 \over r_1}$ folgt:

$\mu = \frac{m_1 + m_2 ({m_1 \over m_2})^2}{(1 + {m_1 \over m_2})^2} = \frac{m_1 \left( 1 + {m_1 \over m_2}\right)}{(1+{m_1 \over m_2})^2} = {m_1 \over {1+{m_1 \over m_2}}} = {m_1 m_2 \over m_1 + m_2}$

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Kategorie: Mechanik

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