Randelementmethode

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Die Randelementmethode (REM, englisch boundary element method, BEM) ist ein Diskretisierungsverfahren zur Berechnung von Anfangs- und Randwertproblemen mit partiellen Differentialgleichungen und ein numerisches Berechnungsverfahren in den Ingenieurwissenschaften. Als Vater der Randelementmethode wird Professor Carlos Brebbia genannt.

Sie lässt sich auf vielen Gebieten anwenden, zum Beispiel in der Strömungsmechanik, Akustik, Wärmetransport, Elektromagnetismus, Festkörpermechanik, Bruchmechanik, Plastizität usw. Die REM hat sich etwa parallel mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) entwickelt. Bei den meisten Fragestellungen ist jedoch die populärere FEM weiter verbreitet, oder die Randelementemethode wird mit der Methode der finiten Elemente gekoppelt (BEM-FEM-Kopplung). Die Randelementmethode wird seltener für Numerische Strömungsmechanik (CFD) verwendet, verstärkt jedoch für elektrische Feldprobleme (Elektrostatik), thermische Feldprobleme (stationäre und transiente Wärmeleitung), sowie mechanische Feldprobleme (Elastomechanik) und Akustik im Frequenz- und Zeitbereich.

Das Wesen der Randelementmethode ist, dass im Gegensatz zur Finite-Elemente-Methode nur der Rand bzw. die Oberfläche eines betrachteten Gebietes oder einer Struktur diskretisiert wird, nicht jedoch deren Fläche bzw. Volumen. Die unbekannten Zustandsgrößen befinden sich nur auf dem Rand. Mit Hilfe von Springrelationen werden die partiellen Differentialgleichungen zu Integralgleichungen umgewandelt, die Eigenschaften des gesamten Gebietes abgebildet. Diese Integralgleichungen werden dann mit einer Technik die den FEM ähnelt diskretisiert und numerisch gelöst. Die Randelementmethode nutzt die Zusammenhänge aus den Integralsätzen nach Green, Gauss und Stokes. Für die Lösung von Problemen, die mit der Randelementmethode gelöst werden sollen, ist es nicht nötig, die Greensche Funktion (oder Greensche Fundamentallösung) zu kennen.

Bei der REM ist die Anzahl der Knoten und damit der Freiheitsgrade wesentlich niedriger als bei der FEM und auch bei der Finite-Differenzen-Methode (FDM). Man erhält allerdings eine vollbesetzte unsymmetrische Matrix. Die Unsymmetrie des Gleichungssystems ist für die Lösung von Nachteil. - Die REM wird vorteilhaft in Fällen eingesetzt, bei denen FEM problematisch sind: beispielsweise bei Halbraum-Kontaktproblemen, bei denen sich der Halbraum bis ins Unendliche erstreckt. Ein Beispiel dafür ist ein Fundament auf elastischem Grund. Ein eher akademisches Problem wäre die Lösung des Laplaceoperators in einem Außengebiet. Bei FEM müssten zusätzliche künstliche Randbedingungen eingeführt werden.

[Bearbeiten] Sonstiges

Die Abkürzung „BEM“ steht im englischen auch für Bug-eyed monster (Artikel in der englischen Wikipedia) und bezeichnet die ausufernde Schilderung von außerirdischen Monstern in der (überwiegend US-amerikanischen) Science-Fiction-Literatur ab den 1930er-Jahren.

[Bearbeiten] Weblinks

[Bearbeiten] Literatur

The Boundary Element Method, L. C. Wrobel, M. H. Aliabadi, April 2002, ISBN 0-470-84139-7
L. Gaul und C. Fiedler: Methode der Randelemente in Statik und Dynamik, Vieweg ISBN 3528067810
F. Hartmann, C. Katz: Structural Analysis with Finite Elements, Springer-Verlag ISBN 3-540-40416-3
A practical guide to boundary element methods with the software library BEMLIB, C. Pozrikidis, ISBN 1-58488-323-5