Pseudobetrag

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Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beispiele
- 3.1 Polynomringe mit Pseudobetrag
- 3.2 Matrizenringe mit Pseudobetrag

[Bearbeiten] Definition

Sei $R$ ein unitärer Ring. Eine Abbildung $|\cdot|:R\to\R_+$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt ein Pseudobetrag, wenn für alle $a,b\in R$ folgende Eigenschaften gelten:

(1) $|a|=0\;\Leftrightarrow\; a=0$ (Definitheit)

(2) $|a-b|\leq |a|+|b|$

(3) $|a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|$ (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a) $|a\cdot b|= |a|\cdot |b|$ (Multiplikativität),

so heißt $|\cdot|$ ein Betrag.

Der Pseudobetrag $|\cdot|$ heißt nicht-archimedisch, wenn

(4) $|a+b|\leq \max(|a|,|b|)$

gilt.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Für einen Pseudobetrag gelten stets

| - a | = | a |

und

$|a+b|\leq |a|+|b|$ (Dreiecksungleichung).

Für einen Pseudobetrag gilt stets $|1|\geq 1$ , für einen Betrag gilt sogar $| 1 | = 1$ .
Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring.

[Bearbeiten] Beispiele

Sei $(R,|\cdot |)$ ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

[Bearbeiten] Polynomringe mit Pseudobetrag

Dann sind die Polynomalgebren $R [X]$ in einer bzw. $R[X_1,\ldots,X_n]$ in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

[Bearbeiten] Matrizenringe mit Pseudobetrag

Analog sind die Matrizenalgebren $R^{n\times n}$ wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit $1\leq p\leq 2$ ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.