Produktmaß
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Ein Produktmaß ist in der Maßtheorie ein Maß auf dem Produkt zweier Maßräume.
[Bearbeiten] Konstruktion des Produktmaßes
Wenn man an die gewohnten reellen Zahlengeraden (also die x- und y-Achse) mit dem Lebesgue-Borel-Maß λ denkt, so ist es naheliegend, den 
als den gemeinsamen Produktraum zu definieren. Denn das Lebesgue-Maß λ2 auf der Lebesgue-Borel-σ-Algebra 
-- das ist die Vervollständigung der kleinsten σ-Algebra, die von den offenen Quadern erzeugt wird (siehe Borel-σ-Algebra) -- ist eindeutig bestimmt.
Für zwei Messräume 
und 
definiert man allgemein die Produkt-σ-Algebra 
als die von allen Rechtecken 
erzeugte σ-Algebra. 
ist also die kleinste σ-Algebra, die alle Rechtecke enthält. Dieser technische Schritt ist nötig, weil die Menge aller Rechtecke selbst im Allgemeinen keine σ-Algebra ist.
Es ist nun möglich analog auch ein Maß μ auf dieser Produktalgebra zu definieren, allerdings nur für σ-endliche Maßräume.
[Bearbeiten] Existenz und Eindeutigkeitssatz
Wenn 
und 
zwei σ-endliche Maßräume sind, dann existiert auf der Produkt-σ-Algebra 
genau ein Maß μ, so dass gilt:
Ein so konstruiertes Maß wird als das Produktmaß 
bezeichnet.
[Bearbeiten] Bemerkungen
- Mit Hilfe dieser Definition kann das Prinzip von Cavalieri in seiner allgemeinsten Form auf dem
für jede (fast überall) Lebsgue-messbare Teilmenge formuliert werden. - Auch die Sätze von Fubini und Tonelli gelten unter der Voraussetzung σ-endlicher Maßräume ganz allgemein (also nicht unbedingt nur für den euklischen Raum) für messbare Funktionen.
- Das Produkt zweier vollständiger Maße ist im allgemeinen nicht wieder vollständig, beispielsweise sind Kreise in der Ebene Lebesgue-Nullmengen, gehören jedoch nicht der oben beschriebenen von den Quadern erzeugten σ-Algebra an.
