Potenzmengenkonstruktion

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Die Potenzmengenkonstruktion (Myhill-Konstruktion) ist ein Verfahren, das einen nichtdeterministischen endlichen Automaten NEA in einen äquivalenten deterministischen endlichen Automaten DEA umwandelt. Das Verfahren dient als konstruktiver Beweis für die Äquivalenz der beiden Automatenmodelle.

Inhaltsverzeichnis 1 Grundidee 2 Theoretischer Rahmen 3 Konstruktion 4 Formal 5 Beispiele 5.1 Automat zum regulären Ausdruck (a|b)*aba 5.2 Automat zum regulären Ausdruck a(a|b)*b

[Bearbeiten] Grundidee

Die Zustände des konstruierten deterministischen Automaten DEA sind Mengen von Zuständen des nichtdeterministischen Automaten NEA. Ein Zustand von DEA kodiert dabei all diejenigen Zustände, in denen sich der äquivalente nichtdeterministische Automat NEA zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden könnte. Ein Zustandsübergang in DEA ist deterministisch, da sein Folgezustand aus der Menge aller möglichen Folgezustände besteht, in die NEA unter einer bestimmten Eingabe gelangen kann.

Das Verfahren heißt Potenzmengenkonstruktion, weil die Zustände des konstruierten Automaten Mengen von Zuständen des Ausgangsautomaten sind und daher die konstruierte Zustandsmenge Teil der Potenzmenge der Zustandsmenge des Ausgangsautomaten ist.

Die Potenzmengenkonstruktion ergibt nicht notwendigerweise einen minimalen deterministischen endlichen Automaten.

[Bearbeiten] Theoretischer Rahmen

Die Wissenschaftler Michael O. Rabin und Dana Scott wurden 1976 für ihre Arbeiten im Bereich der Automatentheorie mit dem Turing Award ausgezeichnet. Um den nach ihnen benannten Satz

 Jede von einem NEA akzeptierte Sprache ist auch durch einen DEA akzeptierbar.

beweisen zu können, wird ein Algorithmus konstruiert, der jedem NEA einen äquivalenten DEA zuweist.

[Bearbeiten] Konstruktion

Zu einem nichtdeterministischen Automaten konstruiere einen äquivalenten deterministischen Automaten folgendermaßen:

1. Starte mit leeren Zustandsmengen Q' und F'.
2. Wähle den Startzustand q₀' von als einelementige Menge q₀' = {q₀} des Startzustandes von . Füge q₀' zur Menge der Zustände Q' hinzu.
3. Für alle Zustände q', die bereits in Q' enthalten sind und für jedes Eingabezeichen konstruiere einen Folgezustand q'' als Menge aller Zustände, die ausgehend von einem Zustand aus q' unter Eingabe von s erreichen kann.
4. Füge den Zustand q'' zu Q' hinzu, falls er noch nicht in der Menge der Zustände von enthalten ist.
5. Ergänze die Übergangsfunktion δ' um den Übergang δ'(q',s) = q''.
6. Wiederhole die Schritte 3. bis 5. solange bis sich Q' und δ' nicht mehr ändern.
7. Wähle die Menge der Finalzustände F' von als diejenige Teilmenge von Q', deren Zustände einen Finalzustand aus F enthalten.

[Bearbeiten] Formal

Sei ein nichtdeterministischer endlicher Automat mit der Zustandsmenge Q, dem Eingabealphabet Σ, der Übergangsfunktion δ, dem Startzustand s und der Menge der Finalzustände F. Seien weiterhin

, so dass und , der ε-Abschluss eines Zustands unter δ,

s': = E(s), der ε-Abschluss von s unter δ,

, so dass ,

, so dass und ,

.

Daraus ergibt sich der zu A äquivalente deterministische endliche Automat A' als:

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Automat zum regulären Ausdruck (a|b)^*aba

Gegeben sei der nichtdeterministische Automat über dem Alphabet Σ = {a,b} mit der tabellarisch gegebenen Übertragungsfunktion δ:

δ	a	b
s0	{s0,s1}	{s0}
s1		{s2}
s2	{s3}
s3

Eine graphische Darstellung des Ausgangsautomaten sieht folgendermaßen aus:

Nach obiger Konstruktion ergeben sich die Zustandsmenge Q' = {s₀',s₁',s₂',s₃'} und die Übertragungsfunktion δ' des äquivalenten deterministischen Automaten wie folgt:

δ'	a	b
s0' = {s0}	{s0,s1}	{s0}
s1' = {s0,s1}	{s0,s1}	{s0,s2}
s2' = {s0,s2}	{s0,s1,s3}	{s0}
s3' = {s0,s1,s3}	{s0,s1}	{s0,s2}

Daraus leitet sich die Menge der Finalzustände F' = {s₃'} ab, da nur s₃' = {s₀,s₁,s₃} den Finalzustand s₃ des Ausgangsautomaten enthält. Insgesamt ergibt sich der deterministische Automat , der folgende graphische Darstellung besitzt:

[Bearbeiten] Automat zum regulären Ausdruck a(a|b)^*b

NEA mit dem regulären Ausdruck a(a|b)*b

	a	b
S'0 = S0	S1	0
S'1 = S1	S1	{S1,S2}
S'2 = {S1,S2}	S1	{S1,S2}
0	0	0

DEA mit dem regulären Ausdruck a(a|b)*b