Panjer-Verteilung

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Die Panjer-Verteilung (nach Harry Panjer) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Verteilungen Negative Binomialverteilung, Binomialverteilung und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint. Sie wird in der Versicherungsmathematik eingesetzt als Schadenzahlverteilung, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.

[Bearbeiten] Charakterisierung

Die Panjer-Verteilung ist durch folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte $p k = P (X = k)$ charakterisiert:

$p_k = \max\!\left(0,\ a + \frac{b}{k} \right)\! \cdot p_{k-1},~~k \ge 1.$

Die Wahrscheinlichkeit $p 0$ ergibt sich aus der Normierungsbedingung

$\sum_{k=0}^\infty p_k = 1.$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch

$E(X) = \frac{a+b}{1-a},~~V(X) = \frac{a+b}{(1-a)^2}.$

Es ist

$\frac{V(X)}{E(X)} = \frac{1}{1-a},$

woraus folgt, dass

$V(X) > E(X) ~~\iff a > 0.$

$V(X) = E(X) ~~\iff a = 0.$

$V(X) < E(X) ~~\iff a < 0.$

[Bearbeiten] Spezialfälle

Mit $a=0,~b=\lambda,~p_0=e^{-\lambda}$ erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also $V (X) = E (X)$ .

Mit $a=-\frac{p}{1-p},~b=(n+1) \cdot \frac{p}{1-p},~p_0=(1-p)^n$ erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist $V (X) < E (X)$ .

Mit $a=1-p,~b=(r-1) \cdot (1-p),~p_0=p^r$ erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun $V (X) > E (X)$ . Diese Eigenschaft nennt man Overdispersion.