Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
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Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, abgekürzt o. B. d. A., ist eine in mathematischen Beweisen vorkommende Formulierung. Vereinzelt wird auch die Formulierung ohne Einschränkung der Allgemeinheit (o. E. d. A.) verwendet.
Mit ihr wird zum Ausdruck gebracht, dass eine Einschränkung (z. B. des Wertebereichs einer Variablen) nur zur Vereinfachung (insbesondere Verringerung der Schreibarbeit) der Beweisführung vorausgesetzt wird, ohne dass die Gültigkeit der im Anschluss getroffenen Aussagen in Bezug auf die Allgemeinheit (also ohne Einschränkung) darunter leidet. Der Beweis wird nur für einen von mehreren möglichen Fällen geführt. Dies geschieht unter der Bedingung, dass die anderen Fälle in analoger Weise bewiesen werden können (z. B. bei Symmetrie).
[Bearbeiten] Beispiel
Ein Anwendungsbeispiel möge dies erläutern.
Satz:
Eine im Intervall [a,b] stetige Funktion f mit der Eigenschaft f(a) · f(b) < 0 besitzt in [a,b] mindestens eine Nullstelle.
Beweis:
Aus f(a) · f(b) < 0 folgt, dass f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen haben. O. B. d. A. betrachten wir den Fall f(a) < 0 und f(b) > 0. … (für diesen Fall folgt nun der Beweis)
Man kann erkennen, dass in dieser Beweisführung der andere Fall f(a) > 0 und f(b) < 0 auch abgedeckt ist, indem man einfach f durch − f ersetzt.
Durch o. B. d. A. können auch triviale Sonderfälle ausgeschlossen werden, da diese „die Allgemeinheit nicht beschränken“.
[Bearbeiten] Literatur
- Albrecht Beutelspacher: Das ist o. B. d. A. trivial!, Vieweg 2004, ISBN 3-528-66442-8
