Normaler Raum
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Hinweis: Es gibt zwei unterschiedliche Definitionen für normale Räume und T4-Räume, bei denen die beiden Begriffe vertauscht sind. Hier gilt, dass ein T4-Raum normal und hausdorff ist.
Ein normaler Raum ist ein topologischer Raum, in dem zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. In anderen Worten: abgeschlossene Mengen E, F werden durch Umgebungen U, V getrennt.
Die Erblichkeit ist in einem normalen Raum auf abgeschlossene Teilmengen eingeschränkt.
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[Bearbeiten] Beispiele
Alle parakompakten Hausdorff-Räume und damit die meisten in der Mathematik untersuchten Räume sind normal, insbesondere metrische Räume und Mannigfaltigkeiten.
Pseudometrische Räume sind dagegen normal, ohne im allgemeinen Hausdorff-Räume zu sein.
[Bearbeiten] Gegenbeispiele
Der topologische Vektorraum aller Funktionen von R auf R mit der durch punktweise Konvergenz induzierten Topologie.
Das Produkt aus überabzählbar vielen nicht-kompakten Hausdorff-Räumen ist niemals normal.
[Bearbeiten] Eigenschaften
[Bearbeiten] Erblichkeit
Ein abgeschlossener Unterraum eines normalen Raums ist wieder ein normaler Raum.
[Bearbeiten] Fortsetzung stetiger Funktionen
Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze
Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge stetige, reellwertige Funktion zu einer auf den ganzen Raum stetigen, reellwertigen Funktion fortgesetzt werden kann.
[Bearbeiten] Zerlegung der Eins
Ein normaler Raum ermöglicht eine Zerlegung der Eins.
[Bearbeiten] Sätze
Ein topologischer Raum X ist genau dann normal, wenn es zu jeder Umgebung U einer abgeschlossenen Menge A eine offene Menge O gibt, für die gilt
Das bedeutet, das für jede abgeschlossene Menge die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.
[Bearbeiten] Spezialisierung
Ein normaler Raum, der zusätzlich die Trennungseigenschaft T1 bzw. T2 erfüllt, wird als T4-Raum bezeichnet.
[Bearbeiten] Literatur
- Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909
- Egbert Harzheim, Helmut Ratschek: Einführung in die allgemeine Topologie. ISBN 3534063554
