Modulo (Rest)

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Modulo (mit Betonung auf der ersten Silbe) oder mod ist eine insbesondere in der Informatik verbreitete Funktion, die den Rest aus der Division zweier Ganzzahlen angibt. In Programmiersprachen wird diese Funktion häufig durch den Operator % gekennzeichnet.

Es gibt zwei Varianten der Modulo-Funktion, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefern:

"Mathematische Variante":

$(a\;\bmod\;m)= a - \left \lfloor \frac{a}{m} \right \rfloor \cdot m$

mit der Gaußklammer $\lfloor \cdot \rfloor$ . Für diese Variante gilt stets

$(a + km)\;\bmod\;m = a\;\bmod\;m\quad(k\in\mathbb Z),$

aber im Allgemeinen ist

$(-a)\;\bmod\;m \ne-(a\;\bmod\;m),$ z. B. $(-2)\;\bmod3=1\ne-2=-(2\;\bmod\;3)$ .

Ist

m

positiv, so ist $a\;\bmod\;m\geq0$ für alle

a

"Symmetrische Variante":

$(a\;\bmod\;m) = a - m\cdot (a\,\operatorname{div}\,m);$

dabei bezeichnet $a\,\operatorname{div}\,m$ den zur Null hin gerundeten Quotienten

a / m

. Für diese Variante gilt

( - a)mod m = - (a mod m)

aber im Allgemeinen

$(a + km)\;\bmod\;m\ne a\;\bmod\;m$ , z. B. $(1 - 3)\;\bmod\;3=(-2)\;\bmod\;3=-2\ne 1=1\;\bmod\;3$ .

$a\;\bmod\;m$ hat stets dasselbe Vorzeichen wie

a

, oder es gilt $a\;\bmod\;m = 0$ .

In Programmiersprachen ist üblicherweise die zweite Variante implementiert. Gilt $a\geq 0$ und $m > 0$ , so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis.

Beispiele:

17 mod 3 = 2, da 17 = 5×3 + 2 („drei passt fünf mal in 17 und es bleiben zwei übrig“ – der Rest ist also zwei)
2 mod 3 = 2, da 2 = 0×3 + 2

Wenn $(a\;\bmod\;n) = (b\;\bmod\;n)$ , dann folgt nicht daraus, dass $a = b$ ist, sondern nur, dass sich $a$ und $b$ um ein ganzzahliges Vielfaches von $n$ unterscheiden. Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden.

[Bearbeiten] Literatur

"Basiswissen Zahlentheorie - Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche" - K. Reiss, G. Schmieder, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21248-5