Mellin-Transformation
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In der Mathematik versteht man unter der Mellin-Transformation einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion f das Integral
- .
Sie ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Robert Hjalmar Mellin. In der Literatur findet man die Transformierte gelegentlich mit einem Faktor , dabei ist Γ(s) die Gamma-Funktion. Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation, substituiert man nämlich im obigen Integral t = ex, setzt F(x) = f(ex) und bezeichnet die Fourier-Transformierte der Funktion F mit , so ist
Unter bestimmten Bedingungen ist die Rücktransformation möglich, es gilt dann:
mit einem c>0.
Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe und eine Potenzreihe zueinander in Beziehung setzen. Es seien
mit den gleichen an. Dann gilt:
Setzt man hier alle an = 1, so ist f(s) die Riemannsche Zetafunktion und man erhält
[Bearbeiten] Literatur
- D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0
- M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3
- R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1989, ISBN 3-540-51238-1