Lorenz-Kurve

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Anwendung der Lorenzkurve zur Veranschaulichung der Einkommensverteilung - bspw. verfügen 50% der Haushalte (und zwar die ärmeren) über ca 25 % aller Einkommen, die (reicheren) 50% verfügen hier über ca 75% der Einkommen, was leicht zu sehen ist, auf den zweiten Blick kann man auch erkennen, dass die 10% der reichsten über ca. 30% aller Einkommen verfügen.

Die Lorenz-Kurve (auch Lorenzkurve) wurde von Max Otto Lorenz zur grafischen Darstellung von statistischen Verteilungen und der Veranschaulichung des Ausmaßes an Konzentration bzw. Ungleichheit entwickelt. Sie wird insbesondere zur Analyse der Einkommensverteilung verwendet.

[Bearbeiten] Eigenschaften der Lorenz-Kurve

Die Lorenzkurve hat drei charakteristische Eigenschaften:

sie beginnt bei (0%|0%) und endet bei (100%|100%)
sie ist konvex
sie ist stetig

Anders als manchmal angenommen ist sie weder immer monoton steigend (Gegenbeispiel: negatives Einkommen bei einem Teil der Haushalte, aber positives Gesamteinkommen aller Haushalte) noch immer glatt (Gegenbeispiel: Ein Teil der Haushalte verdient genau 1000 € im Monat, der andere Teil genau 10000 € ohne Zwischenwerte. Dann ergibt sich ein Graph aus zwei Geraden verschiedener Steigung, und die zugehörige Funktion ist im Knickpunkt nicht differenzierbar)

[Bearbeiten] Zustandekommen der Lorenzkurve

Bei der Lorenzkurve wird eine bestimmte Größe aufsteigend (d.h. beim kleinsten Wert beginnend) sortiert und anschließend kumuliert ( "aufaddiert" ). Dadurch entsteht der charakteristische Bauch der Lorenzkurve, welcher anschaulich das Maß der Ungleichverteilung angibt.

[Bearbeiten] Satz von Rothschild & Stiglitz

Gegeben seien zwei Verteilungen $(x_1,\ldots,x_n)\,$ und $(x^*_1,\ldots,x^*_n)$ mit $\sum x_v = \sum x^*_v$ . Die Lorenzkurve von $(x_1,\ldots,x_n)\,$ liegt oberhalb der Lorenzkurve von $(x^*_1,\ldots,x^*_n)$ . Dann und nur dann gilt: $F(x_1,\ldots,x_n) \leqq F(x^*_1,\ldots,x^*_n)$ für jede symmetrische und quasikonvexe Funktion $F\,$ .

Folgerung: Wenn sich zwei Lorenzkurven schneiden, hängt es von der Wahl der jeweiligen symmetrischen und quasikonvexen Funktion $F\,$ ab, welche der beiden Kurven als die mit der größeren Ungleichheit zu bezeichnen ist.

[Bearbeiten] Anwendungsgebiete

Neben der Illustration der Einkommensverteilung wird die Lorenz-Kurve auch zur Darstellung von Marktmacht (Konzentrationsverteilung, beispielsweise gemessen an Unternehmensumsätzen) oder räumlichen Verteilungen verwendet (vergleiche Segregation).

Eine weitere Anwendung findet die Lorenzkurve in der logistischen ABC-Analyse, bei der die Lorenzkurve die Verteilung der Güter verdeutlicht, geordnet nach Klassifizierungseigenschaft (beispielsweise Wert) und Verbrauchsmenge.