Logarithmische Gammaverteilung

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Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beziehung zu anderen Verteilungen
- 3.1 Beziehung zur Gammaverteilung
- 3.2 Beziehung zur Paretoverteilung

[Bearbeiten] Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $a > 0$ und $b > 0$ genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle b^a}{\displaystyle \Gamma(a)}x^{-(b+1)}(\ln x)^{a-1} & x\geq 1 \\ 0 & x < 1 \end{cases}$

besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann

$F(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle \gamma(a,b \ln x)}{\displaystyle \Gamma(a)} & x \geq 1 \\ 0 & x < 1 \end{cases}$ ,

wobei $γ(p, q)$ die unvollständige Gammafunktion ist.

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Erwartungswert

Für $b > 1$ ergibt sich der Erwartungswert zu

$\operatorname{E}(X) = \left(1-\frac{1}{b}\right)^{-a}$ .

[Bearbeiten] Varianz

Die Varianz ergibt sich für $b > 2$ als

$\operatorname{Var}(X) =\left(1-\frac{2}{b}\right)^{-a}- \left(1-\frac{1}{b}\right)^{-2a}$ .

[Bearbeiten] Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\left(1+\frac{1}{b(b-2)}\right)^a -1}$ .

[Bearbeiten] Schiefe

Die Schiefe lässt sich für $b > 3$ geschlossen darstellen als

$\operatorname{v}(X) = \frac{\left(\frac{b}{b-3}\right)^a-3\left(\frac{b^2}{(b-2)(b-1)}\right)^a+2\left(\frac{b}{b-1}\right)^{3a}} {\left(\left(\frac{b}{b-2}\right)^a-\left(\frac{b}{b-1}\right)^{2a}\right)^{\frac{3}{2}}}$ .

[Bearbeiten] Momente

Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als $b$ .

[Bearbeiten] Beziehung zu anderen Verteilungen

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.

[Bearbeiten] Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn die Zufallsvariable $X$ Gamma-verteilt ist, dann ist $Y = e X$ Log-Gamma-verteilt.

[Bearbeiten] Beziehung zur Paretoverteilung

Die Paretoverteilung mit den Parametern $k$ und $x m i n = 1$ entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern $a = 1$ und $b = k$ .

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Kategorie: Wahrscheinlichkeitsverteilung