Gammaverteilung
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Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet
- in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
- in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.
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[Bearbeiten] Definition
Die Gammaverteilung γ(b,p) ist für durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
definiert. Sie besitzt die reellen Parameter b und p. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird b > 0 und p > 0 gefordert.
Der Vorfaktor bp / Γ(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck Γ(p) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.
Die Gammaverteilung genügt damit für der Verteilungsfunktion
- ,
wobei γ(p,bx) die unvollständige Gammafunktion ist.
[Bearbeiten] Alternative Parametrisierung
Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit p und b findet man auch häufig die folgende:
- .
Dichte und Momente ändern sich dabei dementsprechend (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise αβ). Da diese Parametrisierung vor allem im angelsächsischen Raum vorherrscht, wird sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert ab und Varianz ab2 zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.
[Bearbeiten] Eigenschaften
f besitzt an der Stelle ihr Maximum und an den Stellen Wendepunkte.
[Bearbeiten] Erwartungswert
Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist
[Bearbeiten] Varianz
Die Varianz der Gammaverteilung ist
[Bearbeiten] Schiefe
Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch
- .
[Bearbeiten] Reproduktivität
Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und px bzw. py, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und px + py.
[Bearbeiten] Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
- .
[Bearbeiten] Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist
- .
[Bearbeiten] Beziehung zu anderen Verteilungen
[Bearbeiten] Beziehung zur Betaverteilung
Wenn die Zufallsvariablen X mit γ(a,b)und Y mit γ(a,c) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a,b und c, dann ist die Größe Beta-verteilt mit
- .
[Bearbeiten] Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung
- Die Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = k / 2 und b = 1 / 2.
[Bearbeiten] Beziehung zur Erlang-Verteilung
Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter λ und n Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p = n und b = λ.
[Bearbeiten] Beziehung zur Exponentialverteilung
- Die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = 1 und b = λ.
- Die Faltung von Exponentialverteilungen mit demselben λ ergibt eine Gamma-Verteilung.
- In Analogie zur negativen Binomialverteilung bestimmt die Gamma-Verteilung in Verallgemeinerung der Exponentialverteilung die Zeit bis zum Eintreffen des p-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.
[Bearbeiten] Beziehung zur negativen Binomialverteilung
Die Gammaverteilung ist das stetige Analogon zur diskreten negativen Binomialverteilung und die Zeit bis zum Eintreffen des p-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.
[Bearbeiten] Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung
Ist X Gamma-verteilt, dann ist Y = eX Log-Gamma-verteilt.
[Bearbeiten] Literatur
- Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
- Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
- P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991
[Bearbeiten] Weblinks
- Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
- Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung