Likelihood-Quotienten-Test
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Der Likelihood-Quotienten-Test ist ein statistischer Test, der zu den typischen Hypothesentests in parametrischen Modellen gehört. Viele klassische Tests wie der F-Test für den Varianzenquotienten oder der Zwei-Stichproben-t-Test lassen sich als Beispiele für Likelihood-Quotienten-Tests interpretieren.
[Bearbeiten] Definition
Formal betrachtet man das typische parametrische Testproblem: Gegeben ist eine Grundmenge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 
, abhängig von einem unbekannten Parameter 
, der aus einer bekannten Grundmenge 
stammt. Als Nullhypothese 
soll getestet werden, ob der Parameter zu einer echten Teilmenge 
gehört. Also:
.
Die Alternative 
lautet entsprechend:
wobei 
das Komplement zu 
in bezeichnet.
Die beobachteten Daten sind Realisierungen von Zufallsvariablen 
, die jeweils die (unbekannte) Verteilung 
besitzen und stochastisch unabhängig sind.
Der Begriff des Likelihood-Quotienten-Tests suggeriert bereits, dass die Entscheidung des Tests auf der Bildung eines Quotienten beruht. Man geht dabei so vor, dass man ausgehend von den Daten 
und den zu den einzelnen Parametern gehörenden Dichtefunktionen 
den folgenden Ausdruck berechnet:
Heuristisch gesprochen: Man bestimmt anhand der Daten zunächst den Parameter aus der gegebenen Grundmenge, der die größte Wahrscheinlichkeit dafür liefert, dass die gefundenen Daten gemäß der Verteilung realisiert worden sind. Den Wert der Dichtefunktion bezüglich dieses Parameters wird dann als repräsentativ für die gesamte Menge gesetzt. Im Zähler betrachtet man als Grundmenge den Raum der Nullhypothese, also , für den Nenner betrachtet man die gesamte Grundmenge .
Es lässt sich intuitiv schließen: Je größer der Quotient ist, desto wahrscheinlicher ist 
. Ein Wert von 
in der Nähe von Eins bedeutet, dass anhand der Daten kein großer Unterschied zwischen den beiden Parametermengen und zu erkennen ist. Die Nullhypothese sollte in solchen Fällen also nicht verworfen werden.
Demnach wird bei einem Likelihood-Quotienten-Test die Hypothese zum Niveau 
abgelehnt, falls
gilt. Hierbei ist der kritische Wert 
so zu wählen, dass 
gilt.
Die konkrete Bestimmung dieses kritischen Werts ist in der Regel problematisch.
[Bearbeiten] Approximation von 
durch eine χ²-Verteilung
Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich die im allgemeinen schwierig zu betrachtende Teststatistik durch χ²-verteilte Zufallsvariablen annähern, so dass sich vergleichsweise leicht asymptotische Tests herleiten lassen. Neben eher technischen Annahmen an die Verteilungsfamilie ist die folgende Annahme einer „Parametrisierbarkeit der Nullhypothese“ fundamental:
Es seien der Parameterraum 
und zudem 
gegeben, beide Mengen seien offen und es gelte: 
. Zudem existiere eine zweimal stetig differenzierbare Abbildung 
mit 
, deren Jacobi-Matrix 
für jedes 
vollen Rang besitzt.
Dann gilt:
wobei die Zufallsvariablen in Verteilung konvergieren.
Die Beweisidee beruht auf einer Aussage über die Existenz von Maximum-Likelihood-Schätzern in allgemeinen parametrischen Familien und ihrer Konvergenz gegen eine normalvereilte Zufallsvariable, deren Varianz das Inverse der Fisher-Information ist.
[Bearbeiten] Literatur
P. J. Bickel, K. Doksum: Mathematical statistics. Holden-Day.
