Komplexe Mannigfaltigkeit

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In der Differentialgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik ist eine komplexe Mannigfaltigkeit eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Zusatzstruktur.

[Bearbeiten] Definition

Eine fastkomplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist eine glatte Abbildung mit der Eigenschaft, daß die Einschränkung auf den Tangentialraum eines Punktes eine bijektive lineare Abbildung ist, die

erfüllt.

Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer komplexen Struktur .

Seien M und N zwei fastkomplexe Mannigfaltigkeiten. Eine stetig differenzierbare Abbildung heißt holomorphe Abbildung, wenn

gilt. Dabei ist der Push-Forward von f.

Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit heißt komplexe Mannigfaltigkeit , wenn es einen Atlas gibt der aus holomorphen Karten besteht, die jeweils in eine offene Menge eines komplexen Vektorraumes gehen.

Die fastkomplexe Struktur einer komplexe Mannigfaltigkeit heißt komplexe Struktur.

[Bearbeiten] Riemannsche Fläche

Im reell zweidimensionalen (d.h. im komplex eindimensionalen) ist jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit, was man durch das Lösen der Beltrami-Gleichung zeigen kann. Eine solche eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit heißt Riemannsche Fläche. (Nicht zu verwechseln mit Riemannscher Mannigfaltigkeit)

[Bearbeiten] Beispiele

Beispiele für komplexe Mannigfaltigkeiten sind:

1. Jede Riemannsche Fläche wie zum Beispiel die Riemannsche Zahlenkugel, die komplexe Ebene und die punktierte komplexe Ebene.
2. Jeder komplexe Vektorraum wie z.B. der C^N und jede seiner offenen Teilmengen.
3. Der Projektive Hilbertraum P(H), das ist die Menge aller eindimensionalen Unterräume von dem Hilbertraum H.