Kollinearität

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Kollinearität ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bedeutet, dass in einem System von Vektoren wenigstens eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Das bedeutet mathematisch z.B. für eine Korrelationsmatrix, dass wenigstens ein Eigenwert 0 ist.

Durch - statistisch - methodische und Rundungsfehler können solche Korrelationsmatrizen entgleisen und mathematisch unzulässige negative Eigenwerte produzieren (eine Korrelationsmatrix muss mindestens positiv semidefinit sein), die zu unsinnigen Werten, z. B. partielle oder multiple Korrelationskoeffizienten >> 1 führen können und eine multivariate Interpretation oder Weiterverarbeitung (z.B. Faktorenananalyse, Diskriminanzanalyse) grundsätzlich in Frage stellen. Daher kann die Eigenwertanalyse als wichtige Qualitätssicherungsmaßnahme multivariater Matrizen angesehen werden.

Grenzfälle ("Fast-Kollinearität") von Kollinearität führen zur sog. numerischen Instabilität. Das bedeutet, dass kleine Veränderungen auf der Eingangsseite große Veränderungen auf der Ausgangsseite bewirken können.

Existenz und Entdeckung von Kollinearität kann auch einen sehr positiven und wissenschaftlich außerordentlich bedeutungsvollen Aspekt haben, wenn sie echt ist, also nicht durch einen Artefakt (z.B. Gesamtwert in einer Korrelationsmatrix oder zu geringe VPn gegenüber den Variablen) und nicht durch (statistisch) methodische (z.B. ungleiche Stichprobenumfänge; frühere Attenuitäts-Korrektur (correction for attenuation) bei Spearman oder falsche Korrelationskoeffizienten) oder nur durch Rundungs-Fehler (die sich bislang in der EDV nicht vermeiden lassen) zustandekommt, weil dadurch praktisch eine (fast-) funktionale Gesetzmäßigkeit gefunden wurde. Das Suchen nach Kollinearität kann also auch als systematische Methode, funktionale Gesetzmäßigkeiten zu finden, Anwendung finden.

Die systematische Untersuchung von Korrelationsmatrizen kann auch der Untersuchung (in-) korrekter wissenschaftlicher Arbeit dienen. Werden die negativen Eigenwerte relativ groß (Faustregel > Betrag 0,05) sind aller Voraussicht nach bedeutsamere - absichtliche oder unabsichtliche - Fehler gemacht worden. Mit der Eigenwertanalyse multivariater Matrizen können auch wissenschaftliche Fälschungen gefunden und überführt werden.

Verwandte, Synonyme und Schlüsselbegriffe zu diesem Themenkreis:

• Multikollinearität (multi-collinearity),
• schlecht konditionierte Matrizen (ill conditioned matrices),
• indefinite Matrizen,
• numerische Instabilität (numerical instability),
• Fehler,
• Rundungsfehler,
• Eigenwerte,
• positiv definit,
• positiv semidefinit,
• multivariate Verfahren, besonders:
• Faktorenanalyse
• Regression,
• Korrelation.

Hauptsächliche Anwendung:

• Lineare Algebra,Vektorrechnung,Geometrie,
• Sozialwissenschaften,
• Ökonomie,
• Psychologie,
• Medizin;
• allgemein alle Wissenschaften, die sich multivariater statistischer Methoden mit Regressions- oder Korrelationsmatrizen bedienen.

Für den Bereich der Sozialwissenschaften, hauptsächlich der Psychologie, wurden ca. 1000 Matrizen auf ihre numerische Instabilität empirisch und praktisch untersucht und dokumentiert von R. Sponsel (1994).

Die mathematische Analyse numerisch instabiler und kollinearer Matrizen (Kapitel 6 bei Sponsel) wurde von dem Mathematiker Dr. Bernhard Hain (Erlangen) vorgenommen, woraus auch ein spezielles Computerprogramm ("PESO" nach Pivotisierte Erhard Schmidtsche Orthonormalisierung) entwickelt wurde, das gestattet, bereits die Rohdaten und ihre verschiedenen Verarbeitungsstufen auf Kollinearität hin zu untersuchen. Dabei stellte sich heraus, dass Kollinearität auch durch mathematische Artefakte (zentrieren und normieren der Rohdaten) entstehen kann. Dr. Hain fand bei seiner mathematischen Untersuchung den Isometriesatz über den Zusammenhang der zentrierten Rohdaten und der Choleskymatrix, was praktisch bedeutet, dass jeder Eingriff in die Korrelationsmatrix einer Veränderung der zentrierten Rohdaten gleich zu setzen - d.h. auch außerordentlich problematisch - ist.

[Bearbeiten] Literatur

• Sponsel, Rudolf; Hain, Bernhard: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. IEC-Verlag, Erlangen 1994. Hier besonders: Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. ISBN 3-923389-03-5

[Bearbeiten] Weblinks

• Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie - Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology - Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. http://www.sgipt.org/wisms/nis/nis_ueb0.htm