Interferenz (Physik)

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Interferenz beschreibt die Überlagerung von zwei oder mehr Wellen nach dem Superpositionsprinzip.

Interferenz zweier zirkularer Wellen - Wellenlänge von oben nach unten zunehmend, Abstand der Zentren zunehmend nach rechts.

Bei der Überlagerung von zwei sinusförmigen Wellen mit gleicher Wellenlänge, gleicher Frequenz und gleichem Takt bzw. gleicher Phase (Schwingung) verstärkt sich die Amplitude - man spricht dann von konstruktiver Interferenz; sind die beiden Wellen um 180° phasenverschoben, sodass ein Wellenberg mit einem Wellental zusammenfällt, löschen sie sich gegenseitig aus, wenn ihre Amplitude gleich groß ist - es entsteht eine sogenannte destruktive Interferenz.

In der Akustik erzeugen eng benachbarte Frequenzen bei Interferenz einen Mittelton, der Schwebungen aufweist. Interferenz zweier gegenlaufender Wellen gleicher Frequenz führt zu einer stehenden Welle.

Das Auftreten von Interferenz im physikalischen Experiment gilt als Nachweis für Wellen.

Inhaltsverzeichnis

1 Zum Interferenzbegriff
2 Spezialfall: Berechnung der Überlagerung zweier Wellen
3 Beispiele
- 3.1 Interferenzfarben
- 3.2 Überlagerung von Wellen
4 Bemerkungen
5 Weblinks

[Bearbeiten] Zum Interferenzbegriff

Wellen-Interferenz kann mathematisch im einfachsten Fall als Superposition, z. B. als Addition oder Multiplikation der erregenden, laufzeitverzögerten Zeitfunktionen $f (t)$ - gleich welcher Art diese sein mögen - am betrachteten Ort $(x, y, z)$ aufgefasst werden.
Häufig implizieren wir mit dem Begriff der Interferenz auch Superponierbarkeit und Rückwirkungsfreiheit zwischen den betrachteten Raumpunkten.

Die im Bild unten dargestellte Momentan-Amplitude $f i (t)$ des Wellenfeldes der Interferenz zweier Wellen kann für jedes Pixel $i$ und jeden Zeitpunkt $t$ am einfachsten als zeitverschobene Superposition (Addition) der verursachenden Zeitfunktionen $f 1 (t)$ und $f 2 (t)$ dargestellt werden,

f i (t) = f 1 (t - T 1 i) + f 2 (t - T 2 i)

wobei $T 1 i$ und $T 2 i$ die Signallaufzeit vom jeweiligen Quellort 1 bzw. 2 zum betrachteten Pixel $i$ darstellt.
Sind die verursachenden Wellen sinusförmig und von gleicher Frequenz, so ist folglich gemäß Additionstheorem die Resultierende an jedem Ort wieder ein Sinus dieser Frequenz mit veränderter Amplitude und Phase.
Genauso interferieren Wellen, die von nicht sinusförmiger Art sind, die zum Beispiel nur numerisch als Werteliste zur Verfügung stehen. Es ist zwar üblich, aber oft unnötig, zur Feldberechnung in den Frequenz-Bereich zu wechseln.
Integriert man einige Zeit über ein Wellenfeld, so beginnen sich Orte konstruktiver Interferenz energetisch abzuheben, ein Bild entsteht als Interferenzintegral über das Wellenfeld. Der Effektivwert steigt an den Orten stärker an, die gleichzeitig von mehreren Wellen überlaufen werden im Vergleich zu Orten, über die verschiedene Wellenberge ungleichzeitig hinweg laufen.

[Bearbeiten] Applikationen

Additive Welleninterferenz treffen wir zumeist in homogenen Wellenräumen an (Akustik, Radar, Optik). Multiplikative Verknüpfung hingegen führt über den Begriff diskreter Wellenausbreitung für ultrakurze Impulse direkt zum AND-Gatter der Ultra-Kurzzeitmesser oder zu Verfahren zur Beschleunigung der Prozessoren in der Computertechnik über Laufzeit-Homogenisierung beim Pipelining paralleler Datenpfade.
Optische wie auch akustische Kameras sind ohne Wissen über Interferenz undenkbar. Zugrundeliegende Abbildungen stellen zeitliche Integrale über das Wellenfeld dar. Bei langer Integration heben sich Orte mit hohen Interferenzwerten allmählich ab - ein Bild entsteht. Unvermittelt kommen wir mit dem Begriff der Selbstinterferenz zum Gebiet der (Wellen-) Optik, und mit dem Begriff der Kreuzinterferenz zu auditiven Karten, wie sie aus dem Nervensystem bekannt sind.
Ortskurven von Richtantennen oder Richtmikrofonen stellen vergleichbare Interferenzintegrale des Wellenfeldes dar. Der Interferenzbegriff gestattet hier eine unmittelbare Nähe zum optischen Bild in Form der mathematischen Analogie.

[Bearbeiten] Dimension von Interferenz-Räumen

Anschaulich verknüpfen wir mit dem Interferenzbegriff oft zweidimensionale Welleninterferenzen z. B. von Wasserwellen. In der mathematisch-abstrakten Behandlung kann der Begriff aber sowohl auf eindimensionale Interferenzräume (leitbahngebundene oder diskrete Interferenzräume als Zeitfunktionen), wie auch auf dreidimensionale Interferenzräume (Radar, Radio) erweitert werden. Für den Bereich nervlicher Interferenz sprechen formal-mathematische Indizien inzwischen für hochdimensionale Interferenzräume. Quellpunktzahl $n$ und Raumdimension $d$ stehen in einem festen Zusammenhang: $n = d + 1$ . Die hohe Dimensionalität wird hier durch räumliche Faltungen und Geschwindigkeitsvariationen der Leitbahnen erreicht.
Natürlich sprechen wir nur dann von Interferenz, wenn die geometrische Wellenlänge der betrachteten Schwingung viel kleiner als die Größe des betrachteten Laufzeitraumes ist. Insbesondere in der Akustik und im Nervensystem erreichen geometrische Wellenlängen schnell die Dimension des Laufzeitraumes. Beispiele:

Eine akustische Schwingung (Schallwelle) der Frequenz von 100 Hertz besitzt eine Wellenlänge von 3,4 Meter.
Ein Nervenimpuls der Dauer von einer Millisekunde besitzt bei einer Leitgeschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde eine geometrische Ausdehnung von einem Millimeter.
Meereswogen von fünfzehn Metern Länge, die mit drei Sekunden Abstand das Ufer erreichen, laufen mit fünf Metern pro Sekunde auf das Ufer zu.

[Bearbeiten] Zur Herkunft des Begriffes

Im englischen bedeutet interference die Beeinträchtigung, Störung oder Wechselwirkung. In der Tat ist der Begriff interference im englischsprachigen Raum eher mit elektromagnetischen Störungen verbunden, z. B. dem Pfeifgeräusch bei Funkempfang auf Mittel- oder Kurzwelle, welches durch Mehrfachbelegung von Kanälen und Überreichweiten entsteht (dieses entsteht tatsächlich durch Interferenz !) oder der gegenseitigen Störung elektrischer Geräte (EMI - electromagnetic interference, vgl. EMV)
Historisch wuchs der Begriff in Optik, Radiotechnik, Akustik oder Nervennetz relativ unabhängig voneinander. Optik entwickelte sich über zwei Jahrtausende über geometrische Strahlenbetrachtungen und Pfadintegrale, man ahnte noch nichts von Wellen. Newton beschreibt die Farbzerlegung des Lichts mittels Prisma, sowie Wellenauslöschung bei dünnen Schichten, ohne sie aber richtig zu verstehen. Kurz zuvor hatte Christiaan Huygens die Wellennatur des Lichts erkannt. Er interpretiert das Brechungsgesetz nicht mehr mit Strahlen (Euklids Lichtstrahl, Fermats kürzester Weg, Newtons Korpuskeltheorie, später Lagranges Wirkungsintegral), sondern mit Wellen.
Die optische Farbzerlegungs-Analogie dirigierte Feldbetrachtungen stets in den Fourier-Raum. Daraus entstand die bis heute dominante Lehrmeinung, Feldberechnungen können am einfachsten im Fourierraum erfolgen. Mit den Gesetzen der Interferenz-Abbildungen konnte erst in den letzten Jahren die mathematische Basis zwischen verschiedenen Fachgebieten unter Rückbezug auf Zeitfunktionen verallgemeinert werden. Hierbei entsteht ein abstrakter Wellenbegriff, der die Zeitfunktion eines Ortes als Äußerung der Superposition von ursächlichen, wie auch immer verursachten, meist gleichförmigen Verschiebungen von Zeitfunktionen betrachtet. Damit ist die Ausbreitung einer Welle (z. B. Licht) in verzögernden Räumen der Wirkung von Zeit adäquat (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, Minkowski-Raum). Eine Analogie zum Nervensystem wird deutlich: Von einem beliebigen Neuron breitet sich ein Impuls wellenartig in alle Richtungen zu hunderttausenden Synapsen aus. Man entdeckt die Impuls-Welle mittels Autokorrelation an anderen Stellen wieder und kann damit die Geometrie des Wellenfeldes als Funktion der Zeit und die Verteilung der Leitgeschwindigkeit als Funktion des Ortes als sogenannte auto-korrelative Ortskurve des Neurons rekonstruieren.

[Bearbeiten] Spezialfall: Berechnung der Überlagerung zweier Wellen

[Bearbeiten] ... gleicher Frequenz und Amplitude, unterschiedlicher Phase

Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude lässt anhand der trigonometrischen Additionstheoreme berechnen. Werden die beiden Wellen $f 1 (t)$ und $f 2 (t)$ mit der gemeinsamen Frequenz $ω$ , der Amplitude $a$ und den Phasen $\varphi_1$ und $\varphi_2$ durch

$f_1(t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_1)$ und $f_2(t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_2)$

beschrieben, so ergibt sich für die resultierende Überlagerung der Wellen

$f_1(t) + f_2(t) = a \left( \sin(\omega t + \varphi_1) + \sin(\omega t + \varphi_2) \right) = 2a \cos\left(\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\right) \sin\left(\omega t + \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2}\right),$

d. h. es entsteht eine Welle derselben Frequenz, deren Amplitude von der Differenz der Phasen der beiden ursprünglichen Wellen abhängt und deren Phase das Mittel der Phasen der ursprünglichen Wellen ist. Für gleiche Phasen der Wellen ( $\varphi_1 = \varphi_2$ ) wird der Cosinus Eins. Es ergibt sich eine Amplitude von $2 a$ , d. h. die Amplitude verdoppelt sich gegenüber den Ausgangsamplituden, was konstruktiver Interferenz entspricht. Für eine Phasendifferenz von 180°,( $\varphi_1 = \varphi_2 + \pi$ ) wird der Cosinus Null, d. h. die resultierende Welle verschwindet. Dies entspricht destruktiver Interferenz.

[Bearbeiten] ... gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude und Phase

Für gleiche Frequenz der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen lässt sich die resultierende Welle mittels Zeigerarithmetik berechnen. Die beiden Wellen $g 1 (t)$ und $g 2 (t)$ besitzen die gemeinsamen Frequenz $ω$ , die Amplituden $a 1$ und $a 2$ und die Phasen $\varphi_1$ und $\varphi_2$

$g_1(t) = a_1 \cdot \sin(\omega t + \varphi_1)$ und $g_2(t) = a_2 \cdot \sin(\omega t + \varphi_2)$

Die resultierende Überlagerung der Wellen hat die Form

$g_1(t) + g_2(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)$

mit der Amplitude

$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2) }$

und der Phase $\varphi$

$\tan \varphi = \frac{a_1 \sin(\varphi_1) + a_2 \sin(\varphi_2)}{a_1 \cos(\varphi_1) + a_2 \cos(\varphi_2)}.$

[Bearbeiten] Weißlichtinterferenz

Die Überlagerung kontinuierlich variierender Wellenlänge und Amplitude (Spektrum) erzeugt ein Interferenzmuster nur innerhalb der Kohärenzlänge. In der Weißlichtinterferometrie wird dieses Verhalten ausgenutzt um eine eindeutige Längenmessung zu erhalten. Ein weiteres Anwendungsbeispiel findet sich in der Optische Kohärenztomografie, die dadurch dreidimensionale Strukturen erfassen kann.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Interferenzfarben

Schemazeichnung zur Entstehung von Interferenzfarben; siehe Text.

An dünnen Schichten optisch transparenter Materialien beobachtet man Interferenzfarben. Sie entstehen durch Überlagerung der Strahlen, die an der Oberfläche der Schicht und an der unteren Grenzfläche reflektiert werden.

Im Bild rechts wird Strahl 2 an der Oberfläche zurückgeworfen, Strahl 1 erst nach Passieren der blau dargestellten dünnen Schicht. Er legt einen um die Strecke Δ = X0Y längeren Weg zurück. Ist Δ ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge λ, d. h.

Δ = (2n+1) · λ/2 für n = 0,1,2,...

löschen sich die Strahlen 1 und 2 aus. Es gelten genau die Gesetzmäßigkeiten wie für Interferenz am Doppelspalt, nur gerade anders herum, da bei der Reflexion von Strahl 1 am -allgemein optisch dichteren- Medium eine Phasenverschiebung einer halben Wellenlänge im reflektierten Strahl auftritt. Strahl 2 wird an der unteren Grenzfläche am optisch dünneren Medium reflektiert, so dass hier kein Phasensprung auftritt. Im Bildbeispiel ist es blaues Licht, das destruktiv interferiert. Das Licht anderer Wellenlängen bleibt erhalten. Strahlt man weißes Licht ein, wird es ohne Blauanteil reflektiert. Man sieht gelbes Licht, die Komplementärfarbe zu Blau.

Beispiele für das Auftreten von Interferenzfarben nennt der Artikel Newtonsche Ringe.

[Bearbeiten] Überlagerung von Wellen

Simulierte Amplitudenverteilung zweier Wellenerreger.

Die Abbildung links zeigt die Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude. Die Kreuze markieren die Lage der Quellen, die Kreise die Maxima der jeweiligen Teilwelle. An weißen Stellen tritt konstruktive Interferenz, in positiver Richtung, an schwarzen konstruktive Interferenz, in negativer Richtung, auf. An den grauen Stellen herrscht destruktive Interferenz. Es ist zu erkennen, dass die Minima auf einer Hyperbel-Schar liegen, deren Brennpunkte identisch den Quellorten der Wellen sind. Man spricht deshalb bei zwei Punktquellen von einer hyperbolischen Interferenz. Die Hyperbel ist dabei die Kurve aller Punkte, die zu den zwei Quellorten die Laufzeitdifferenz t = λ/2 haben. Der Scheitelpunktabstand $2 a$ entspricht der Laufzeitdifferenz $2 a = (T 1 - T 2) v$ , wenn $T 1$ und $T 2$ den Zeitbezug der beiden speisenden Zeitfunktionen darstellen und $v$ die mediale Ausbreitungsgeschwindigkeit darstellt.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Auf Interferenz beruht die begrenzte Auflösung optischer Geräte auf Grund der Beugung (Diffraktion).

Eine weite Anwendung findet die Interferenz im optischen Gitter, das zur Spektralzerlegung von Strahlung benutzt wird, beispielsweise in Monochromatoren in Spektrometern.

Ein bekanntes Experiment, das die Wirkung der Interferenz verdeutlicht, ist das Doppelspaltexperiment (Thomas Young 1802). Dabei wird in einen Elektronen- oder Lichtstrahl eine Blende aus zwei schmalen (Größenordnung einer Wellenlänge) Spalten aufgestellt. Dahinter befindet sich ein Detektor bzw. ein Schirm, auf dem die Elektronen oder Photonen nachgewiesen werden. Ist ein Spalt verdeckt, so zeigt sich bei Beleuchtung wie erwartet ein heller Streifen auf dem Schirm. Gibt man beide Spalte frei, so entstehen nicht nur zwei Lichtstreifen, sondern mehrere. Die Streifenabstände verhalten sich umgekehrt proportional zum Abstand der Spalte. Interferenz und Beugung führen dazu, dass sich die Wellen des Lichts wie oben beschrieben überlagern und somit eine Anordnung von hellen und dunklen Streifen bilden.

Das Doppelspaltexperiment wird oft zur Einleitung in die Quantenmechanik verwendet, denn auch bei einzelnen Photonen stellt man fest, dass diese beim Auftreffen statistisch ebenfalls ein Streifenmuster bilden, d.h. sie „wissen“, dass ein zweiter Spalt existiert.

In der Messtechnik werden Interferometer eingesetzt. Diese nutzen Interferenzerscheinungen zur Messung von Längen oder Phasenverschiebungen.

In der Akustik wird Interferenz zur Reduktion von störenden Geräuschen ausgenutzt, siehe Antischall.

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../i/n/t/Interferenz_%28Physik%29_31e3.html“

Kategorien: Quantenphysik | Optik | Akustik | Wellenlehre