Helmholtz-Gleichung

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Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz) ist eine Variante der Poisson-Gleichung. Sie lautet:

$\Delta \varphi= \lambda \cdot \varphi$

in einem Gebiet $Ω$ und geeigneten Randbedingungen auf dem Rand $\partial \Omega$ .Dabei ist

$\Delta=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.$

der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten.

Die Helmholtz-Gleichung ist dementsprechend eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung und zwar eine elliptische PDE.

[Bearbeiten] Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen. Diese lauten (mit Lorenz-Eichung $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=0$ )

$\Delta\Phi(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-4\pi\varrho(\vec{r},t)$

für das elektrische Skalarpotential $Φ$ sowie

$\Delta A_i(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_i(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c}j_i(\vec{r},t)$

für das magnetische Vektorpotential $\vec{A}$ (hier für die einzelnen Komponenten mit: $\vec{A}=\sum_{i=1}^3 A_i\hat{e}_i$ )

Die Allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

$Φ = Φ h o m . + Φ p a r t .$

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung

Exemplarisch wird nun die Lösung für $Φ$ durchgeführt. Mit $\Phi\rightarrow A_i$ hat man dann auch gleichzeitig die Lösungen für $\vec{A}$ . Wir bilden zunächst die Fourier-Transformierten von $Φ$ und $\varrho$

$\Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

$\varrho(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

und setzen diese als Ansatz für die Maxwellgleichung $\Delta\Phi(\vec{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi(\vec{r},t)}{\partial t^2}=-4\pi\varrho(\vec{r},t)$ ein:

$\Delta\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\int d\omega\,\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

$\Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial^2 t}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

$\Rightarrow\int d\omega\,\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}=-4\pi\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}) e^{-i\omega t}$

Beide Integranden müssen gleich sein, da sich die $d ω$ -Integration über die gleichen Bereiche erstreckt:

$\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=-4\pi\varrho_\omega(\vec{r})$

Für $\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=\left(\Delta+{k^2}\right)\Phi_\omega(\vec{r})=0$ erkennen wir die Helmholtz-Gleichung wieder.

Hier ist $k$ der Betrag des Wellenvektors und heißt Kreiswellenzahl. ${k}=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}$ wobei $λ$ die Wellenlänge der elektromagnetischen Welle ist.

Zur Lösung dieses Problems betrachten wir zunächst

$\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)G(\vec{r})=-4\pi\delta(\vec{r})$

Wir suchen nun also zunächst die Greensche Funktion zum Differentialoperator $D_{op}=\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}$

Diese lautet:

$G(\vec{r})=\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Dies ist also die Lösung für eine Punktladung am Ort $\vec{r}$ . Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

$\Phi_\omega(\vec{r})=\int d^3r'\,\varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fouriertransformierte für $\Phi(\vec{r},t)$ ein und erhalten

$\Phi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \varrho_\omega(\vec{r}')\frac{\exp(\pm i\omega |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}e^{-i\omega t} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\,\int d^3r'\, \frac{\varrho_\omega(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\exp\left(\pm i\omega (|\vec{r}-\vec{r}'|/c\mp t)\right)$

Wir ersetzen nun $t':=\mp |\vec{r}-\vec{r}'|/c\mp t$ :

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d^3r'\,\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\int d\omega\,\varrho_\omega(\vec{r}')e^{-i\omega t'} =\int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Wir setzen nun wieder $t'=t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c$ ein:

$\Phi(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{\varrho(\vec{r}',t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichung. Sie gilt sowohl für $Φ$ als auch für $A i$ . Damit folgt analog:

$A_i(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{j_i(\vec{r}',t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

$\Rightarrow\vec{A}(\vec{r},t)=\int d^3r'\,\frac{\vec{j}(\vec{r}',t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$

[Bearbeiten] Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung

Noch steht das Vorzeichen im Argument $t\pm |\vec{r}-\vec{r}'|/c$ noch nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei $\vec{r}'$ erst zu einem späteren Zeitpunkt bei $\vec{r}$ beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung: