Gronwall-Lemma

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Das Grönwall-Lemma, häufig auch als Grönwall-Ungleichung bezeichnet, ist ein in der Analysis von gewöhnlichen Differentialgleichungen häufig eingesetztes Lemma. Es ist nach Thomas Hakon Grönwall benannt, der es im Jahr 1919 bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

[Bearbeiten] Das Lemma

Es sei u eine positive, reellwertige Funktion, die auf dem Intervall $I = [t 0, b]$ definiert und stetig ist, für die die Integralungleichung

$u(t) \leq A + B \int_{t_0}^t u(s) ds$

für alle $t \in I$ gilt, wobei $A,B \ge 0$ . Dann gilt die Ungleichung

$u(t) \leq A e^{B(t-t_0)}$

für alle $t\in I$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten eine Umgebung eines Punktes $t$ mit $u (t) > 0$ . Mit $U(t) := B \int_{t_0}^t u(s) \mathrm{ds} + A$ folgt dann $\dot U = Bu \leq BU$ und mithin $U(t) \leq U(t_0)e^{B(t-t_0)} = Ae^{B(t-t_0)}$ . Die Behauptung ist nun wegen $u \leq U$ evident.

[Bearbeiten] Anwendungen

Das Lemma wird eingesetzt, indem die Differentialgleichung integriert wird, dann erlaubt es die Abschätzung der Lösung über die einfach handhabbare Exponentialfunktion. Damit ist es beispielsweise möglich, die Abhängigkeit der Lösung von ihrem Anfangswert abzuschätzen, im Zusammenhang mit dem Satz von Picard-Lindelöf wird es genutzt, um die Eindeutigkeit der Lösung zu zeigen. Des Weiteren ist es ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von Differential- und Integralgleichungen. Daher findet es in allen der Mathematik nahestehenden Gebieten Anwendung, wie zum Beispiel der Wärmeleittechnik, der Verfahrenstechnik und der Reaktionstechnik.