Gaußsche Summenformel
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Die gaußsche Summenformel ist die Formel für die Summe der ersten n aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, also 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n . Sie wird auch arithmetische Reihe genannt:
.
[Bearbeiten] Herkunft der Bezeichnung
Der junge Carl Friedrich Gauß soll diese Formel neu entdeckt haben, als sein Lehrer ihn die Zahlen von 1 bis 100 (nach anderen Quellen von 1 bis 60) addieren ließ und Gauß feststellte, dass die erste und die letzte Zahl (1+100), die zweite und die vorletzte Zahl (2+99) usw. zusammen immer 101 ergeben. Der doppelte Wert der gesuchten Summe ergibt sich so zu 101 mal 100. Das formelmäßige Resultat selber war allerdings schon früher Newton und später Euler bekannt.
Allgemein formuliert heißt das, dass ein solches Zahlenpaar immer den Wert n + 1 hat und 
Zahlenpaare existieren. Multipliziert man beide Terme miteinander, was äquivalent zur Summe aller Zahlenpaare ist, erhält man die obige Formel.
[Bearbeiten] Beweis
Der Beweis der gaußschen Summenformel lässt sich mithilfe des Verfahrens der vollständigen Induktion führen. Siehe hier.
[Bearbeiten] Veranschaulichung
Man kann die Formel folgendermaßen veranschaulichen: Man schreibt die Zahlen von 1 bis n aufsteigend in eine Zeile. Darunter schreibt man die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge (im Beispiel n = 11).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Es ist gut zu erkennen, dass die Summe der Spalten im Beispiel jeweils den Wert 12 ergibt. Allgemein ergibt sich ein Wert von n + 1. Da es n Spalten sind, ist die Summe der Zahlen beider Zeilen gleich 
. Um die Summe der Zahlen einer Zeile zu ermitteln wird das Ergebnis halbiert und es ergibt sich die obige Formel: 
.
