Friedmann-Gleichungen

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Die Friedmann-Gleichungen beschreiben theoretisch die möglichen Expansions- und Kontraktionsbewegungen des Universums. Sie folgen aus der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Robertson-Walker-Metrik. Diese wiederum folgt aus dem kosmologischen Prinzip („das Universum ist homogen und isotrop“) und ist nur von der Zeit abhängig. Das kosmologische Prinzip gilt nur für große Skalen (~100 Mpc).

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlegendes
2 Klassische Friedmann-Gleichung
3 Herleitung der Klassischen Friedmann Gleichung
4 Relativistische Herleitung der Friedmann-Gleichungen
5 Weblinks
6 Literatur

[Bearbeiten] Grundlegendes

Albert Einstein ging zunächst von einem statischen Universum aus, das sich weder ausdehnt noch zusammenzieht. Dazu musste er in seinen Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie eine entsprechende Konstante einführen, die er kosmologische Konstante nannte.

Der russische Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann verwarf diese Annahme eines statischen Universums und setzte die kosmologische Konstante gleich Null. Stattdessen stellte er mit den sog. Friedmann-Gleichungen drei Modelle eines expandierenden Universums auf. (Die darin manifestierten Modelle beeinflussten in der Folge wiederum nicht unbeträchtlich die physikalischen Auffassungen und Modelle Einsteins.)

In diesen Gleichungen wird abhängig vom Verhältnis zwischen kinetischer und potentieller Energie das Expansionsverhalten des Universums beschrieben. Jedem Expansionsverhalten wird eine bestimmte Krümmung der Raumzeit zugeordnet, die in etwa den Kegelschnitten vergleichbar ist:

Modell 1: kinetische Energie < potentielle Energie. Die Gravitation ist in der Lage, die Expansion soweit abzubremsen, dass sie zum Stillstand kommt und sich umkehrt; es ergibt sich die Möglichkeit eines „pulsierenden“ Universums. Die Krümmung der Raumzeit ist sphärisch (Kreis bzw. Ellipse).

Modell 2: Der Grenzfall: kinetische Energie = potentielle Energie. Ein solches Universum kommt nach unendlicher Zeit zum Stillstand. Die Raumzeit ist flach (Parabel).

Modell 3: kinetische Energie > potenzielle Energie. Das Universum dehnt sich ständig weiter aus. Die Krümmung der Raumzeit ist hyperbolisch (Hyperbel).

Die Expansion des Universums wurde 1929 von Edwin Hubble durch astronomische Beobachtungen entdeckt und bestätigte damit Friedmanns Grundannahme eines expandierenden Universums.

Die Expansionsrate wird mit der Hubble-Konstante H angegeben. Aus H lässt sich das Alter des Universums bestimmen, wobei jedes der drei Modelle einen anderen Wert liefert.

Aus neuesten Messungen der Expansionsrate über die Hintergrundstrahlung des Weltalls ergibt sich derzeit (März 2004) folgendes Bild:

Die Hubble-Konstante beträgt 71 km/(s * Megaparsec), wobei gilt: 1 Parsec = 3,26 Lichtjahre. Daraus ergibt sich ein Weltalter 13,7 Milliarden Jahre.

Das Universum ist flach, und die Expansion beschleunigt sich noch. Um diesen Tatbestand zu beschreiben, der dem o.g. 2. Modell nicht genau entspricht, musste die kosmologische Konstante wieder eingeführt werden. Sie gilt inzwischen als Repräsentant der dunklen Energie oder Energiedichte des Vakuums.

Die gesamte Energiedichte des Universums setzt sich nach neuesten Erkenntnissen zusammen aus:

73% Vakuum-Energiedichte
23% kalte dunkle Materie
4% baryonische Materie, d.h die „normalen“ Elemente
falls überhaupt, weniger als 1 % heiße dunkle Materie.

[Bearbeiten] Klassische Friedmann-Gleichung

Die klassische Friedmann-Gleichung lautet:

$H^{2} = \left( \frac{\dot a}{a} \right)^{2} = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{kc^{2}}{a^{2}}$

H=H(t) ist der zeitabhängige Hubble-Parameter; a=a(t) ist der zeitabhängige Skalenfaktor (s.u.) oder, wie Friedmann ihn nannte, Weltradius; G ist die Newtonsche Gravitationskonstante; $ρ = ρ(t)$ ist die zeitabhängige Massendichte im Universum; k ist die auf eine konstante dimensionslose Zahl normierte Krümmung des Raumes (in Engl: curvature of space); c die Lichtgeschwindigkeit.

Skalenfaktor a(t)

Die Expansion des Universums ist mit dem Aufblähen eines Luftballons vergleichbar. Nun gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten Koordinaten und Entfernungen festzulegen: Es gibt ein sich mitbewegendes Koordinatensystem (comoving coordinates) in dem die einzelnen Galaxien immer die gleiche Position haben. In unserem Beispiel wäre das Koordinatensystem auf den Luftballon gemalt und würde sich mit dem Ausdehnen des Ballons auch ausdehnen. Man kann sich die Galaxien als kleine Münzen vorstellen, die auf den Ballon geklebt sind. Ihre Koordinaten würden sich demzufolge nicht ändern.

Die physikalische Entfernung (physical distance, proper distance) jedoch verändert sich durch das Aufblähen. Die Galaxien (Münzen) entfernen sich immer weiter von einander.

Dies kann man in folgender Formel festhalten:

$\vec r(t)=a(t)\cdot \vec x$

Hier ist $\vec r(t)$ die physikalische Entfernung; $a (t)$ ist der Skalenfaktor und $\vec x$ ist das sich mit expandierende Koordinatensystem. t ist die Kosmologische Zeit (verstrichene Zeit nach dem Urknall).

Der Skalenfaktor a(t) hängt von der Zeit ab. Das Universum expandiert also nicht immer gleichmäßig konstant, da sich auch seine Massendichte zeitlich ändert. Die Änderung des Skalenfaktors mit der Zeit wird durch die Friedmann-Gleichung beschrieben, die der Massendichte durch die den Energieerhaltungssatz darstellende relativistische Kontinuitätsgleichung.

[Bearbeiten] Herleitung der Klassischen Friedmann Gleichung

Es gilt die Energieerhaltung

U = T + V (T = Kinetische Energie; V = Potentielle)

Es gilt:

$T = \frac{1}{2}m \cdot \dot r^{2}$

$V = - G \cdot \frac{M m}{r}$

Das Potential V folgt aus der Gravitationskraft $F = G \frac{M m}{r^{2}}$ und der anschließenden Integration $V = - \int_{}^{} F$

außerdem haben wir die Beziehung zwischen Masse M, Volumen V und Dichte $ρ$ :

$M = \rho \cdot V$

Das Volumen nehmen wir kugelförmig an:

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

außerdem hatten wir noch die Beziehung zwischen physikalischen und den sich mitbewegenden Koordinaten (s.o):

$\vec r = a(t) \cdot \vec x$

Die Ableitung davon:

$\dot \vec r = \dot a(t) \vec x + \underbrace{a(t) \cdot \dot \vec x}_{= 0}$ (der letzte Term verschwindet, da x ein fester konstanter Vektor ist, der nicht von der Zeit abhängt)

Diese Formeln setzen wir alle in die Energieerhaltungs-Gleichung ein und erhalten:

$U = \frac{1}{2} \dot a^{2} mx^{2} - \frac{4}{3} \pi G \rho a^{2} mx^{2}$

Hier sieht man, dass U proportional ist zu $m x 2$ und somit ist $\frac{U}{mx^{2}} = const$

Nutzen dieser Tatsache und äquivalentes Umformen liefert dann die Friedmann Gleichung

$\Leftrightarrow \left( \frac{\dot a}{a} \right)^{2} = \frac{8}{3} \cdot \pi G \rho - \frac{kc^{2}}{a^{2}}$

Dabei kommt der Faktor $c o n s t = - k c 2$ aus der relativistischen Herleitung dieser Formel.

[Bearbeiten] Relativistische Herleitung der Friedmann-Gleichungen

[Bearbeiten] Die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Obwohl die Gravitation die schwächste der vier bekannten Wechselwirkungen ist, stellt sie auf größeren Maßstäben die dominierende Kraft im Universum dar und bestimmt dessen gesamte Entwicklung und Dynamik. Die gegenwärtig beste Beschreibung der Gravitation ist die Allgemeine Relativitätstheorie (ART). Diese verknüpft die Anziehungskraft der Materie eng mit der Krümmung und Dynamik der Raumzeit.

Der Übersichtlichkeit halber wird bei Berechnungen in der ART die Lichtgeschwindigkeit und die Newtonsche Gravitationskonstante gleich 1 gesetzt („geometrische Einheiten“), so dass diese Größen nicht mehr explizit im Formalismus auftauchen. Die Feldgleichungen der ART lauten dann:

$G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu} - g_{\mu\nu}\Lambda\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mu,\nu \in \{0,1,2,3\}$

Hierin beschreibt der Einstein-Tensor G die Geometrie der Raumzeit, während der Energie-Impuls-Tensor T alle Materie- und Energiefelder umfasst. g stellt die relativistische Verallgemeinerung des metrischen Tensors

(η μν) = diag( - 1,1,1,1)

für die statische und flache Minkowski-Raumzeit auf gekrümmte Raumzeiten dar. $Λ$ steht für die kosmologische Konstante. Letztere wird oft als Vakuumenergie interpretiert, welche dem virtuellen Teilchenzoo entspringt, ihre tatsächliche Natur ist allerdings weiterhin ungeklärt.

Exakte Lösungen für die Feldgleichungen wurden bisher nur für hochsymmetrische Materieverteilungen gefunden. Das Problem besteht darin, für eine Materie- und Energieverteilung T eine passende Metrik g zu finden, aus der sich der Einsteintensor G in komplexer Weise zusammensetzt.

Die Metrik kann über das sogenannte Linienelement dargestellt werden,

${\mathrm d} s^2=g_{\mu\nu}\, {\mathrm d} x^\mu\, {\mathrm d} x^\nu$

wobei eine Summation über identische, hoch- und tiefgestellte Indizes impliziert ist („Einstein-Konvention").

[Bearbeiten] Lösung der Feldgleichungen für ein symmetrisches Universum

Die Materieverteilung im Universum ist auf geringen Entfernungen sehr unregelmäßig, erscheint allerdings ab mehreren hundert Megaparsec zunehmend isotrop, das heisst in alle Richtungen gleich aussehend. Unter der Annahme, dass ein Beobachter im Universum in keiner Weise privilegiert ist (kopernikanisches Prinzip), leitet sich daraus unmittelbar ab, dass das Universum von jedem Standpunkt aus isotrop aussieht und damit auch homogen ist. Dies ist auch als Kosmologisches Prinzip bekannt.

Robertson (1935) und Walker (1936) fanden unabhängig voneinander eine Lösung für die Feldgleichungen für den Fall eines solchen idealisierten Kosmos mit konstanter Krümmung. Das Linienelement dieser Metrik, welches bereits 1922 von Friedmann benutzt wurde, lautet

$\mathrm{d} s^{2} = -\mathrm{d} t^{2} + a^{2}(t)\left[\mathrm{d} w^2 + f_K^{\,2}(w)\left(\mathrm{d}\theta^2 + \mathrm{sin}^2\theta\, \mathrm{d} \phi^2\right)\right]\,.$

Hierbei stellt $w$ die „mitbewegte“ Radialkoordinate dar, $t$ die Eigenzeit eines „mitbewegten Beobachters“, $a (t)$ den Expansionsfaktor des Universums, und $θ$ und $φ$ kennzeichnen die beiden Winkelkoordinaten, analog zu einem sphärischen Koordinatensystem. Ein mitbewegter Beobachter folgt der Expansion des Universums, seine mitbewegte Radialkoordinate behält hierbei ihren numerischen Wert.

Die Funktion $f K (w)$ unterscheidet zwischen dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen konstanter Zeit $t$ mit positiver, verschwindender, oder negativer Krümmung $K$ . Unter einer solchen Hyperfläche versteht man alle Ereignisse, die zur gleichen kosmologischen Zeit stattfinden. Zum Beispiel formen unsere Milchstraße und alle anderen Galaxien heute eine raumartige Hyperfläche. Nur sehen wir diese Galaxien aufgrund der Lichtlaufzeit nicht in diesem heutigen Zustand, sondern in einem individuellen und bereits vergangenen Zustand. Die raumartige Hyperfläche, welche sie aufspannen, ist daher keiner Beobachtung zugänglich.

$f K (w)$ ist gegeben durch

$f_K(w)= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{K}}\;{\mathrm{sin}}(\sqrt{K}w) & K > 0\\ w & K = 0\;.\\ \frac{1}{\sqrt{-K}}\;{\mathrm{sinh}}(\sqrt{-K}w) & K < 0 \end{cases}$

Mit dieser Metrik und den Feldgleichungen werden dann die Friedmann-Gleichungen abgeleitet. Details finden sich unter anderem in Gravitation (Misner, Thorne und Wheeler, 1973).

In einem ersten Schritt werden die Verknüpfungskoeffizienten (Christoffel-Symbole) $\Gamma^\alpha_{\;\;\mu\nu}$ aus der Metrik berechnet. Sie erlauben den Vergleich eines Tensorfeldes zwischen zwei benachbarten Ereignissen in einer gekrümmten Raumzeit,

$\Gamma^\alpha_{\;\;\mu\nu}=\frac{1}{2}\,g^{\alpha\beta} \left(g_{\beta\nu,\mu} + g_{\beta\mu,\nu} - g_{\mu\nu,\beta}\right)$

Partielle Ableitungen werden hierbei geschrieben als

$g_{\alpha\beta,\gamma} := \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\gamma}\;.$

Hieraus leitet sich der Riemann-Tensor R ab, welcher die Krümmung der Raumzeit beschreibt als

$R^\alpha_{\;\;\beta\gamma\delta}=\Gamma^\alpha_{\;\;\beta\delta,\gamma} - \Gamma^\alpha_{\;\;\beta\gamma,\delta} + \Gamma^\alpha_{\;\;\mu\gamma}\,\Gamma^\mu_{\;\;\beta\delta} - \Gamma^\alpha_{\;\;\mu\delta}\,\Gamma^\mu_{\;\;\beta\gamma}\;.$

Schließlich ergibt sich der Einstein-Tensor G aus R und der Metrik g,

$G_{\mu\nu}=R^\alpha_{\;\;\mu\alpha\nu} - \frac{1}{2}\,g_{\mu\nu}\, g^{\beta\gamma}\,R^\alpha_{\;\;\beta\alpha\gamma}\;.$

Setzt man das Robertson-Walker-Linienelement in diese drei Gleichungen ein, und benutzt die beiden Zusammenhänge

$[f'_K(w)]^2 = 1 - K f_K^{\,2}(w)$

$f''_K(w) = -K f_K^{\,2}(w)\,$

so findet sich ein diagonaler Einstein-Tensor. Die Diagonalität rührt hierbei direkt aus der angenommenen Isotropie und Homogenität der Materieverteilung im Universum. G lautet

$G_{tt} = 3\,\frac{K + {\dot a}^2}{a^2}$

$G_{ww} = a^2\, \left(- \frac{K + {\dot a}^2}{a^2} - 2 \frac{{\ddot a}}{a}\right)$

$G_{\theta\theta} = a^2\,f_K^{\,2}(w) \left(- \frac{K + {\dot a}^2}{a^2} - 2 \frac{{\ddot a}}{a}\right)$

$G_{\phi\phi} = a^2\,f_K^{\,2}(w)\,{\mathrm{sin}}^2\theta\, \left(- \frac{K + {\dot a}^2}{a^2} - 2 \frac{{\ddot a}}{a}\right)\;.$

$(t, w,θ,φ)$ stellen hierbei die $(0,1,2,3)$ -Komponenten dar. In diesen Koeffizienten der Hauptdiagonalen von G finden sich die totalen Differentiale des Robertson-Walker-Linienelements wieder. Transformiert auf ein Orthonormalsystem, lässt sich G daher schreiben als

$G_{\hat t \hat t} = 3\,\frac{K + {\dot a}^2}{a^2}\;,\;\;\;\; G_{\hat i \hat i} = \left(- \frac{K + {\dot a}^2}{a^2} - 2 \frac{{\ddot a}}{a}\right)\;, \;\;\;\;\;\; \hat i \in \{w,\theta,\phi\}\;.$

[Bearbeiten] Die Friedmann-Gleichungen

In einem isotropen und homogenen Universum wird die Materie- und Energieverteilung beschrieben durch einen diagonalen Energie-Impuls-Tensor,

$(T_{\mu\nu})={\mathrm{diag}}(\rho,p,p,p)\,,$

wobei $ρ = ρ(t)$ und $p = p (t)$ die homogene Dichte und Druck darstellen, die nur Funktionen der Zeit sind.

Kombiniert man die Feldgleichungen sowie die $G_{\hat\mu\hat\mu}$ des orthonormierten Einstein-Tensors, so erhält man die beiden Friedmann-Gleichungen

$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi \rho}{3} - \frac{K}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}\;,$

$2\,\frac{\ddot a}{a} = -8 \pi p - \frac{K}{a^2} + \Lambda - \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2\;.$

Leitet man erstere nach der Zeit ab und setzt sie in die zweite ein, so ergibt sich die Energieerhaltung in der Form

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\,(\rho\,a^3) = -p\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\,(a^3)\,.$

Die erste Friedmann-Gleichung genügt daher, um zusammen mit dem Energieerhaltungssatz die globale Entwicklung des Universums zu beschreiben.

Materie, Strahlung und die Kosmologische Konstante fungieren als Hauptquellen der Gravitation auf der rechten Seite der Feldgleichungen der ART. Die Materie kann hierbei als druckloser „Staub“ angesehen werden, d.h. die Teilchen bewegen sich kollisionsfrei mit nicht-relativistischen Geschwindigkeiten. Die Zustandsgleichungen dieser drei Bausteine lauten dann

p d = 0

p r = ρ r / 3

p Λ = - ρ Λ

Ihre Entwicklung als Funktion der verstrichenen kosmologischen Zeit $t$ wird durch das Prinzip der Energieerhaltung in obiger Form bestimmt, und lautet

$\rho_{\mathrm d} \propto a^{-3}$

$\rho_{\mathrm r} \propto a^{-4}$

ρ Λ = const

Als Anfangswert für die erste Friedmann-Gleichung (auch als Friedmann-Lemaître-Gleichung bekannt) wird $a (t 0) = 1$ verwendet, wobei $t 0$ die kosmologische Zeit im Jetzt darstellt. Die Friedmann-Lemaître-Gleichung kann auch geschrieben werden als

$H^2(t)=H_0^2\,\left(\frac{\Omega_0}{a^3}-\frac{K}{a^2 H_0^2}+\Omega_\Lambda\right)\,,$

wobei die Hubble-Funktion wie oben definiert wird als

$H(t):={\dot a}(t)/a(t)\,.$

Diese beschreibt die Expansionsrate des Universums, mit $H 0 = H (t 0)$ zum heutigen Zeitpunkt. Weiterhin finden sich

$\Omega_0:=\frac{8\pi}{3 H_0^2}\,\rho_0\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Omega_\Lambda:=\frac{\Lambda}{3 H_0^2}$

welche die Materiedichte und Vakuumenergiedichte parametrisieren. Die Strahlungsdichte wird hier vernachlässigt, da sie mit $a - 4$ abfällt und daher gegenüber der Materiedichte rasch unbedeutend wird.

Löst man die Friedmann-Lemaître-Gleichung nach $K$ für den Zeitpunkt $t = t 0$ , und setzt das erhaltene Ergebnis zurück ein, so erhält man die Friedmann-Lemaître-Gleichung in ihrer bekanntesten Form,

$H^2(t) = H_0^2\,\left(\frac{\Omega_0}{a^3} + \frac{1-\Omega_0-\Omega_\Lambda}{a^2} +\Omega_\Lambda\right)\,.$

Für ein flaches Universum ( $1 - Ω 0 - Ω Λ = 0$ ) wie unseres, kann man eine explizite Lösung dieser Gleichung für den Skalenfaktor angeben: mit dem Verfahren der Variablentrennung lässt sich diese Differentialgleichung in ein Integral verwandeln, aus dem $t (a)$ bestimmt wird zu

$t-t_0=\frac{2}{3 H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}}\,{\mathrm {ln}} \left( \frac{a^{3/2}\Omega_\Lambda + \sqrt{\Omega_0\Omega_\Lambda + a^3 \Omega_\Lambda^2}} {\Omega_\Lambda + \sqrt{\Omega_0\Omega_\Lambda + \Omega_\Lambda^2}} \right)\;.$

Dieser Ausdruck lässt sich invertieren. Wählt man $t 0$ so, dass $a (0) = 0$ und das Universum somit einen kompakten Anfang besitzt, und benutzt man $Ω 0 = 1 - Ω Λ$ , so erhält man

$a(t) = \left( \sqrt{\frac{\Omega_0}{\Omega_\Lambda}}\;\; {\mathrm{sinh}}\,(\omega t) \right)^{2/3}\,,\;\;\;\;\;\;\;\; \omega = \frac{3\,H_0 \sqrt{\Omega_\Lambda}}{2}\,.$

Dieser Ausdruck beschreibt das Expansionsverhalten für ein flaches Universum mit kosmologischer Konstante. Peacock (2001) und Carroll (1992) haben einen identischen Ausdruck in anderer analytischer Form hergeleitet. Die über die Sonde WMAP gemessenen Schwankungen in der Hintergrundstrahlung erlauben Rückschlüsse auf die Geometrie unseres Universums. Demnach ist dieses flach, mit einem Materiedichteparameter $Ω 0 = 0.27$ , einem Vakuumdichteparameter $Ω Λ = 0.73$ und einer Hubblekonstante von $H 0 = 71$ km/s/Mpc.

[Bearbeiten] Kosmologische Rotverschiebung und Entfernungsmaße

In dynamischen und gekrümmten Raumzeiten gibt es, im Gegensatz zu Euklidischen Räumen, kein eindeutiges Entfernungsmaß mehr. Es existieren verschiedene, gleichberechtigte Entfernungsdefinitionen, basierend auf dem Linienelement eines Photons und mit der kosmologischen Rotverschiebung als gemeinsamen Nenner.

[Bearbeiten] Weblinks

[Bearbeiten] Literatur

Caroll, S. M., Press, W. H., Turner, E. L. 1992, Ann. Rev. Astr. Astrophys., 30, 499
Friedmann, A. 1922, Zeitschrift für Physik, 10, 377
Misner, C., Thorne, K. S., Wheeler, J. A.: Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
Peacock, J. A. 2001, Cosmological Physics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42270-1.
Robertson, H. P. 1935, Astrophysical Journal, 82, 284
Walker, A. G. 1936, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 42, 90

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Kategorie: Kosmologie