Fröhliche Zahl

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Eine fröhliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die als Ausgangswert für eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 führt, ähnlich dem Collatz-Problem.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Beispiele für fröhliche Zahlen
3 Beispiel für traurige (nichtfröhliche) Zahlen
4 Fröhliche Primzahlen
5 Siehe auch
6 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Bei einer natürlichen Zahl $n$ mit der Dezimaldarstellung $n = \sum_{i=0}^m a_i\cdot10^i = a_0\cdot10^0+a_1\cdot10^1+ ... +a_m\cdot10^m$ , wobei $0 \le a_i \le 9$ , werden die einzelnen Ziffern $a i$ quadriert und addiert, d.h. es wird $s = \sum_{i=0}^m a_i^2 = a_0^2+a_1^2+ ... +a_m^2$ berechnet. Die daraus resultierende Zahl wird genauso behandelt. Ergibt sich irgendwann als Ergebnis eine 1, dann haben alle folgenden Zahlen ebenfalls diesen Wert, und die Zahl wird als fröhlich bezeichnet. Die einzige Alternative ist der Übergang in den einzigen, acht Zahlen umfassenden, periodischen Zyklus (4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4). Weitere Zyklen existieren nicht.

[Bearbeiten] Beispiele für fröhliche Zahlen

$19 \rightarrow 1^2+9^2 = 82 \rightarrow 8^2 + 2^2 = 68 \rightarrow 6^2 + 8^2 = 100 \rightarrow 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1$

Eine Zahl in einer Folge ist nur dann fröhlich, wenn alle Zahlen in der Folge fröhlich sind.

Die ersten 20 fröhlichen Zahlen sind 1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 und 100 (Folge A007770 in OEIS).

[Bearbeiten] Beispiel für traurige (nichtfröhliche) Zahlen

$4 \rightarrow 4^2 = 16 \rightarrow 1^2 + 6^2 = 37 \rightarrow 3^2 + 7^2 = 58 \rightarrow 5^2 + 8^2 = 89 \rightarrow 8^2 + 9^2 = 145 \rightarrow 1^2 + 4^2 + 5^2 = 42 \rightarrow 4^2 + 2^2 = 20 \rightarrow 2^2 + 0^2 = 4$