Formelsammlung Analytische Geometrie

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Dies ist eine Formelsammlung zum Thema Analytische Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, welche in der Tabelle mathematischer Symbole erläutert werden.

Formelsammlung (vorerst noch unvollständig und unsystematisch)

[Bearbeiten] Analytische Geometrie der Ebene

Es seien $P:=(x | y), \ P_1 := (x_1 | y_1) ,\ ... \ P_n := (x_n | y_n)$ Punkte der Ebene,
$\vec a := {a_x \choose a_y}, \ \vec b := {b_x \choose b_y} \ ...$ Vektoren.

Abstand zwischen $P 1$ und $P 2$ :
$d=\sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 }$

Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_1 P_2}$ :
$P_M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} \ , \ \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

Schwerpunkt des Dreiecks $P 1 P 2 P 3$ :
$S = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \ , \ \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$

Fläche des Dreiecks $P 1 P 2 P 3$ :

( $\vec a := \overrightarrow{P_1P_2}\ , \ \vec b := \overrightarrow{P_1P_3}$ )
$A = |\frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}|$

Fläche des Polygons $P 1 P 2 ... P n$ :
$A = | \frac{1}{2} \cdot \left( x_1 y_2 + x_2 y_3 + ... + x_{n-1} y_n + x_n y_1 \ - \ x_2 y_1 - x_3 y_2 - ... - x_n y_{n-1} - x_1 y_n \right)|$

Winkel $\vartheta$ zwischen zwei Vektoren (vergleiche Skalarprodukt):

$\cos \vartheta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \ | \vec b|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2} \ \sqrt{{b_x}^2 + {b_y}^2}}$

[Bearbeiten] Analytische Geometrie des Raumes

Es seien $P:=(x,y,z), \ P_1 := (x_1 | y_1 | z_1) ,\ ... \ P_n := (x_n | y_n | z_n)$ Punkte im Raum,
$\vec a := {\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}} , \ \vec b := {\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}} \ ...$ Vektoren.

Abstand zwischen $P 1$ und $P 2$ :
$d=\sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}$

Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_1 P_2}$ :
$P_M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} \ , \ \frac{y_1+y_2}{2} \ , \ \frac{z_1+z_2}{2} \right)$

Schwerpunkt des Dreiecks $P 1 P 2 P 3$ :
$S = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \ , \ \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \ , \ \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$

Volumen des Tetraeders $P 0 P 1 P 2 P 3$ (vergleiche Spatprodukt):

( $\vec a := \overrightarrow{P_0P_1}\ , \ \vec b := \overrightarrow{P_0P_2} \ , \ \vec c := \overrightarrow{P_0P_3}$ )
$V= | \frac{1}{6} [ \vec a, \vec b, \vec c ]| = | \frac{1}{6} \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}|$

Winkel $\vartheta$ zwischen zwei Vektoren (vergleiche Skalarprodukt):

$\cos \vartheta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \ | \vec b|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2 + {a_z}^2} \ \sqrt{{b_x}^2 + {b_y}^2 + {b_z}^2}}$