Eulerscher Polyedersatz
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der eulersche Polyedersatz, benannt nach Leonhard Euler, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von konvexen Polyedern.
Der Satz besagt:
Seien E die Anzahl der Ecken, F die Anzahl der Flächen und K die Anzahl der Kanten eines konvexen Polyeders, dann gilt:
- E + F − K = 2
In Worten: Anzahl der Ecken plus Anzahl der Flächen minus Anzahl der Kanten gleich zwei.
Beispielhaft sind in der folgenden Tabelle die fünf platonischen Körper mit den zugehörigen Werten für E, F und K aufgeführt. Der eulersche Polyedersatz gilt aber nicht nur für regelmäßige, sondern für alle konvexen Polyeder. Aus dem Satz lässt sich herleiten, dass es nicht mehr als 5 regelmäßige Polyeder geben kann.
| Polyeder | E | F | K | E + F − K |
|---|---|---|---|---|
| Tetraeder | 4 | 4 | 6 | 2 |
| Würfel | 8 | 6 | 12 | 2 |
| Oktaeder | 6 | 8 | 12 | 2 |
| Dodekaeder | 20 | 12 | 30 | 2 |
| Ikosaeder | 12 | 20 | 30 | 2 |
In der französischen Literatur wird der Satz nach Descartes und Euler benannt.
[Bearbeiten] Verallgemeinerungen
- Eine (schwache) Verallgemeinerung des Eulerschen Polyedersatzes ist der analoge Satz für planare Graphen.
- Eine weitreichende Verallgemeinerung findet sich in der Euler-Charakteristik einer Fläche. Aus dieser Sichtweise ist Konvexität lediglich eine (starke) hinreichende Voraussetzung, um zu gewährleisten, dass die Oberfläche des Polyeders homöomorph zur 2-Sphäre ist.
- Der Satz lässt sich auch auf höhere Dimensionen verallgemeinern.
[Bearbeiten] Weblinks
- Ein ungewöhnlicher Beweis mithilfe des Satzes von Pick
