Erzeuger (Algebra)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Eine in der Mathematik häufig gebrauchte Methode ist die des Erzeugenden Systems. Dabei wird ein mathematisches Objekt mit Hilfe eines anderen meist einfacheren Objekt beschrieben, so daß aus dem einfachen Objekt das Ursprungsobjekt konstruiert werden kann. Zum Beispiel heißt eine Menge $\mathfrak{E} \subseteq V$ von Vektoren eines K-Vektorraums V ein Erzeugendensystem eines Unterraums $W \subseteq V$ , falls jedes Element $w \in W$ darstellbar ist als Linearkombination

$w = \lambda_1 e_1 + \ldots + \lambda_n e_n$

mit $e_1,\ldots,e_n$ aus der Menge $\mathfrak{E}$ . Ist nun ein Vektorraum V gegeben, so kann man nach der kleinsten Anzahl von Vektoren fragen welche V erzeugen. Dies führt auf den Begriff der Dimension eines Vektorraums. Bei der komplentären Anwendung dieses Begriffes geht man von einer festen Menge $\mathfrak{E}$ von Vektoren aus, und fragt nach dem von $\mathfrak{E}$ erzeugten Unterraum. Dabei ist also ein Unterraum $W \subseteq V$ gesucht der $\mathfrak{E}$ enthält. Da der Durchschnitt einer nichtleeren Menge von Unterräumen wiederum Unterraum von V ist, und V einen Unterraum (sich selbst) besitzt der $\mathfrak{E}$ enthält, kann man den Durchschnitt aller Unterräume von V betrachten die $\mathfrak{E}$ enthalten. Dieser ist offenbar der kleinste Unterraum im Sinne der Inklusion welcher die Eigenschaft besitzt $\mathfrak{E}$ als Teilmenge zu enthalten. Es ist nicht schwer zu zeigen daß dieser Unterraum genau der von $\mathfrak{E}$ erzeugte, im Sinne der vorherigen Definition ist. Der Begriff des Erzeugendensystems tritt also in zwei Formen in Erscheinung. In der einen Form geht man von einem mathematischen Objekt aus und versucht dieses dann mittels seiner Erzeundensystem zu charakterisieren. In der anderen möchte man ein mathematisches Objekt mit gewissen Eigenschaften, d.h. man geht von dem Erzeugendensystem. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn vorher klar ist wo nach diesem Objekt gesucht werden soll. In unserem Beispiel haben wir alle Unterräume eines Vektorraums betrachtet. Die zweite, implizite Formulierung dieses Prinzips hat den Vorteil für verschiedene Typen von mathematischen Objekten gleich zu sein. Diese Formulierung soll nun allgemein dargestellt werden

[Bearbeiten] Mengentheoretische Formulierung

Es sei eine Grundmenge X gegeben und ein System $\mathfrak{B} \subseteq Pot(X)$ von Teilmengen von X. Diese Teilmengen entsprechen dabei den mathematischen Objekten die im folgenden in Betracht gezogen werden. Im obigen Beispiel von Vektorräumen ist also X = V und $\mathfrak{B}$ die Menge der Unterräume von V. Sei nun weiter eine Menge $E \subseteq X$ gegeben. Dann ist nach der kleinsten Menge $A \in \mathfrak{B}$ gefragt, so daß $E \subseteq A$ . Die Menge E ist also das Erzeugendensystem, im obigen Beispiel gilt also $E = \mathfrak{E}$ . Ein solches Element existiert und ist eindeutig bestimmt sofern

(i) $\mathfrak{B}$ ist stabil unter beliebigen Durchschnitten, d.h. ist $S \subseteq \mathfrak{B}$ nicht-leere Teilmenge so ist auch der Durchschnitt $\bigcap S$ Element des Mengensystems $\mathfrak{B}$

(ii) Es gibt mindestens ein Element A aus $\mathfrak{B}$ mit der Eigenschaft $E \subseteq A$

Dann existiert das gesuchte Objekt A und ist eindeutig bestimmt. Es ist

$A = \bigcap \{ B \in \mathfrak{B} \mid E \subseteq B\}$

[Bearbeiten] Beispiele

Es folgen einige weitere Anwendungen des Prinzips des Erzeugendensystems.

Im Fall von Äquivalenzrelationen: Möchte man eine Äquivalenzrelation konstruieren, bei der gewisse Elemente gerade miteinander identifiziert werden, so liefert obige Konstruktion eine solche. Man benötigt solche Äquivalenzrelationen z.B. bei der Konstruktion von Quotientenräumen von Topologischen Räumen durch Verklebung.

Im Fall von Gruppen: Hier ist das betrachtete Mengensystem $\mathfrak{B}$ die Menge der Untergruppen einer Gruppe G. Die von einer Teilmenge $E \subseteq G$ erzeugte Untergruppe wird dabei üblicherweise mit $\langle E \rangle$ bezeichnet. Gilt $\langle E \rangle = G$ , so sagt man, dass G von der Menge E erzeugt wird. Ist insbesondere E einelementig, d.h. $E = {g}$ , so schreibt man statt $\langle\{g\}\rangle$ auch $\langle g \rangle$ und nennt G zyklisch. Für einelementige Erzeuger ist die erzeugte Untergruppe einfach die Menge $\{ g^z \mid z \in \mathbb{Z}\}$ der ganzzahligen Potenzen des Gruppenelementes.

In der Maß- und Integrationstheorie betrachtet man sogenannte σ-Algebren. Dort betrachtet man zum Beispiel einen topologischen Raum T und sucht auf diesem eine σ-Algebra welche alle offenen Mengen enthält. In diesem Fall ist die Grundmenge X die Potenzmenge Pot(T) und dem System $\mathfrak{B}$ entspricht die Menge der σ-Algebren auf T. Die so nun eindeutig bestimmte σ-Algebra heißt die σ-Algebra der Borel-Mengen. Diese ist in der Integrationstheorie von zentraler Bedeutung. In diesem Fall steht die zweite Form des besagten Prinzips im Vordergrund, da das Objekt als solches nicht explizit angegeben werden kann.

Ein weiterer wichtiger Begriff aus der Maß- und Integrationstheorie ist der Begriff der Messbarkeit einer Funktion. Man betrachtet dabei Funktionen $f: A_1 \longrightarrow A_2$ zwischen Messräumen $(A_1, \mathfrak{B}_1)$ , $(A_2, \mathfrak{B}_2)$ . Dem Mengensystem $\mathfrak{B}$ entspricht dabei jeweils die Menge der $σ$ -Algebren über $A 1$ respektive $A 2$ . Eine Funktion $f: A_1 \longrightarrow A_2$ heißt nun $\mathfrak{B}_1$ - $\mathfrak{B}_2$ -messbar, falls Urbilder $f - 1 (A)$ von messbaren Mengen wieder messbar sind. Die Messbarkeit direkt anhand dieser Definition zu überprüfen, ist im Allgemeinen nicht praktikabel, es genügt jedoch, zu überprüfen, ob für ein Erzeugendensystem $E \subseteq \mathfrak{B}_2$ von $\mathfrak{B}_2$ gilt, dass $\forall A \, (A \in E \rightarrow f^{-1}(A) \in \mathfrak{B}_1)$ . Die Implikation muss dann auch für beliebige Mengen $A \in \mathfrak{B}_2$ gelten, da die Menge der $A \subseteq A_2$ mit $f^{-1}(A) \in \mathfrak{B}_1$ eine $σ$ -Algebra über $A 2$ bildet und E enthält. Da $\mathfrak{B}_2$ bzgl. der Inklusion die kleinste derartige $σ$ -Algebra ist, muss $\mathfrak{B}_2$ in dieser enthalten sein.