Diskussion:Erzeuger (Algebra)

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[Bearbeiten] Begründung für erneuten Revert

In der "Konkurrenzversion" fehlt die "Bottom-Up"-Sichtweise vollkommen, also wie man das Erzeugnis schrittweise aus den Erzeugern konstruieren kann. Im Fall von Vektorräumen wird es zwar kurz erwähnt, aber bei Gruppen oder Äquivalenzrelationen kann man das ja auch ganz explizit beschreiben. (Wie das bei σ-Algebren aussieht, weiß ich nicht.) Abgesehen davon ist die Einleitung der "anderen" Version viel zu formellastig. Man benötigt nicht den Begriff der Potenzmenge, um zu erklären, was Erzeuger sind (N.B. erklären, nicht definieren).--Gunther 16:05, 3. Sep 2006 (CEST)

Es gibt da ja grundsätzliche zwei Ansätze. Entweder man definiert in den einzelnen Fällen (Vektorräumen, Gruppen, Äq-Rels, σ-Algebren, Ringen, etc.) das von einer endlichen oder unendlichen Menge erzeugte Objekt als eine explizite Konstruktion, also etwa der erzeugte Unterraum als die Menge aller LNKs, oder man gibt die "Konstruktion" über die Minimalitätseigenschaft an. Ich finde es ist wichtig herauszustellen daß das Konzept eines "erzeugten Objektes" fast immer nach demselben Schema abläuft, so daß man in der Lage ist dieses Konzept in allen seinen Erscheinungen zu erkennen. Bei σ-Algebren z.B. ist die explizite Konstruktion mittels transfiniter Induktion nicht offensichtlich, und wohl auch nicht sonderlich beliebt. Ich gebe zu daß meine Version holprig ist und mit Formeln überladen. In der anderen Version ist das Konzept aber so darsgestellt, als würde man nur Erzeuger von "fertigen" Objekten betrachten. Bei σ-Algebren aber geht es um die Konstruktion des Objektes, ausgehend vom Erzeuger.--Archont 17:11, 26. Sep 2006 (CEST)

Man braucht fertige Objekte, um über Erzeugnisse sprechen zu können: Schnitte sind nur innerhalb größerer Objekte sinnvoll. Im Fall der σ-Algebren ist das transparent, weil es mit der Potenzmenge ein kanonisches großes Objekt gibt, innerhalb dessen alles stattfindet. Aber eine Konstruktion wie

mit einem rein mengentheoretischen Schnitt funktioniert nicht. (Kategoriell gesprochen: Man kann Unterobjekte schneiden, nicht Objekte per se.) Das ist auch einer der Punkte, die mir an Deiner Fassung nicht gefallen: Nicht für jede Art Objekt ist mengentheoretischer Schnitt der richtige Begriff. Überformal gesehen ist das ja schon bei Vektorräumen der Fall, die ja eigentlich irgendwelche k-Tupel (oder wie auch immer genau) sind.--Gunther 17:34, 26. Sep 2006 (CEST)

Dem steht offensichtlich gegenüber, daß eine wesentliche Anwendung dieses Begriffes das Erzeugen von Objekten ist. Eklatantes Beispiel sind die erwähnten σ-Algebren, die man selbst gar nicht kennt sondern nur über ihre Erzeuger Daß man so nur "Unterobjekte" erzeugen kann, und keine richtigen "Objekte" ist nun wirklich Paragraphenreiterei. Beide Sichtweisen sind berechtigt und gehören in den Artikel. --Archont 17:05, 26. Sep 2006 (CEST)

Du kannst nicht in den luftleeren Raum hinein erzeugen, Du kannst immer nur innerhalb eines vorhandenen, großen Objektes erzeugen. Wenn Du das anders siehst, dann nenne bitte ein Gegenbeispiel, σ-Algebren sind wie gesagt keines.--Gunther 17:33, 27. Sep 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Ausführliche Kritik

• "Objekt"/"Unterobjekt" ist kein Handwaving, sondern Terminologie der Kategorientheorie. Insbesondere ist die Bezeichnung "Objekt" nicht sinnvoll auf das Erzeugendensystem anwendbar.
• Die Einleitung labert viel zu lange herum, ohne auf den Punkt zu kommen. In der Einleitung sollte das allgemeine Konzept kurz vorgestellt werden, ein ausführliches Beispiel kann immer noch folgen. (Beispielsweise führt der Hinweis auf die Dimension komplett weg vom Thema.)
• "Mengentheoretische Formulierung": Es sollte zuallermindest darauf hingewiesen werden, dass Unterobjekte im Allgemeinen keine Teilmengen sein müssen und diese Formulierung deshalb auch nur einen Spezialfall behandelt. Tendenziell ist das ohnehin die falsche Sichtweise, Stichwort Kategorientheorie.
• Beispiele Äquivalenzrelationen/Gruppen: Es fehlt die Erklärung, wie man die gewünschte Relation/Gruppe außer durch Durchschnittsbildung erhält.
• Beispiel messbare Funktionen: Ein etwas bekannteres Beispiel dürfte die Beziehung zwischen Epsilon-Delta-Stetigkeit und topologischer Definition sein.

--Gunther 13:37, 28. Sep 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Erwiderung

• "Objekt"/"Unterobjekt" ist kein Handwaving, sondern Terminologie der Kategorientheorie. Insbesondere ist die Bezeichnung "Objekt" nicht sinnvoll auf das Erzeugendensystem anwendbar.

Dieser Artikel steht nicht unter der Kategorie "Kategorientheorie". Wer wissen will was ein Erzeuger ist, braucht von Kategorien nichts zu wissen.

• Die Einleitung labert viel zu lange herum, ohne auf den Punkt zu kommen. In der Einleitung sollte das allgemeine Konzept kurz vorgestellt werden, ein ausführliches Beispiel kann immer noch folgen. (Beispielsweise führt der Hinweis auf die Dimension komplett weg vom Thema.)

Ohne Beispiel wäre eine Erklärung nur die Anhäufung schwammiger Wörter. Das Beispiel der Vektorräume ist gut geeignet um zu demonstrieren was das Konzept ist, und wozu es gut ist. Die Bemerkung über Dimensionen ist dazu gedacht zu begründen warum die erste Form des Konzepts eines Erzeugers sinnvoll ist. Weiter steht eine Kurzzusammenfassung am Anfang des Artikels.

• "Mengentheoretische Formulierung": Es sollte zuallermindest darauf hingewiesen werden, dass Unterobjekte im Allgemeinen keine Teilmengen sein müssen und diese Formulierung deshalb auch nur einen Spezialfall behandelt. Tendenziell ist das ohnehin die falsche Sichtweise, Stichwort Kategorientheorie.

s. Punkt 1

• Beispiele Äquivalenzrelationen/Gruppen: Es fehlt die Erklärung, wie man die gewünschte Relation/Gruppe außer durch Durchschnittsbildung erhält.

Wenn es meine Zeit zulässt, werde ich versuchen die Beispiele auszuführen. --Archont 17:25, 29. Sep 2006 (CEST)

Der Artikel steht unter der Überschrift "Algebra", und die kategorielle Sichtweise ist aus der heutigen Algebra nicht mehr wegzudenken. ("Erzeuger" im Sinne der Kategorientheorie sind ohnehin etwas anderes.) Wenn Du schon auf den Zusatz "Algebra" abhebst, dann könnte man auch gleich noch darauf hinweisen, dass σ-Algebren keine algebraische Struktur i.e.S. darstellen.--Gunther 10:36, 4. Okt 2006 (CEST)