Erwartungstreue
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Erwartungstreue (selten Unverzerrtheit) ist ein Begriff der mathematischen Statistik, mit dem die Qualität eines Schätzers bemessen werden kann. Sie drückt aus, wie gut der Schätzer den Wert aus der Grundgesamtheit repräsentiert.
[Bearbeiten] Definition
Ein Schätzer 
heißt erwartungstreu für einen Parameter 
bzw. allgemeiner für ein Funktional 
, falls ![E_{\vartheta} [g(X)] = \gamma(\vartheta)](../../../math/1/7/7/1774c3be5f37b5265a35c3f5aa5b420d.png)
gilt. Die anschauliche Interpretation ist, dass wir mit der Wahl von im Mittel richtig liegen, weil der Erwartungswert des Schätzers exakt der gewünschte Parameter ist.
Die Abweichung von diesem Mittel heißt im Englischen bias, so dass erwartungstreue Schätzer entsprechend als unbiased bezeichnet werden.
[Bearbeiten] Asymptotische Erwartungstreue
In der Regel ist es nicht von Bedeutung, dass ein Schätzer erwartungstreu ist. Die meisten Resultate der mathematischen Statistik gelten erst asymptotisch, also wenn der Stichprobenumfang ins Unendliche wächst. Von daher ist es in der Regel ausreichend, wenn Erwartungstreue im Grenzwert gilt, d. h. für eine Folge von Schätzern 
die Konvergenzaussage ![\lim_{n \rightarrow \infty} E_{\vartheta} [g_{n}(X)] = \gamma(\vartheta)](../../../math/4/7/3/473e9af9776174586ac6cd395a6ecdad.png)
gilt.
[Bearbeiten] UMVU-Schätzer: uniformly minimum variance unbiased
Eine wichtige Anwendung erwartungstreuer Schätzer besteht darin, dass mit ihrer Hilfe gleichmäßig beste Schätzer konstruiert werden können. Das Ziel dabei ist es, solche Schätzer zu finden, die das Risiko, häufig gesetzt als die mittlere quadratische Abweichung, über eine ganze Klasse von Schätzern minimieren. In den allermeisten Fällen gibt es keine Schätzer, die über die gesamte Klasse von Schätzern optimal sind, so dass man sich auf Teilklassen beschränken muss. Eine typische Teilklasse sind dabei erwartungstreue Schätzer, wobei man zeigen kann, dass genau diese Schätzer optimal sind, die als Funktion einer suffizienten und vollständigen Statistik dargestellt werden können. Beste erwartungstreue Schätzer werden auch UMVU-Schätzer genannt, für uniformly minimum variance unbiased. Das ist darauf zurückzuführen, dass das Risiko eines Schätzers gleich der Summe aus Bias und Varianz ist. Ein erwartungstreuer Schätzer mit minimaler Varianz ist daher gerade ein bester erwartungstreuer Schätzer.
siehe auch Minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer
