Church-Turing-These

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Die Church-Turing-These (auch Church'sche These, benannt nach Alonzo Church und Alan Turing) trifft Aussagen über die Fähigkeiten einer Rechenmaschine. Sie lautet:

Die Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen ist genau die Klasse der intuitiv berechenbaren Funktionen.

Diese These ist nicht beweisbar, da der Begriff intuitiv berechenbare Funktion nicht exakt formalisiert werden kann. Man versteht darunter alle Funktionen, die prinzipiell auch von einem Menschen ausgerechnet werden könnten. Damit setzt man insbesondere keine Vorstellung voraus, welche Funktionen auf den natürlichen Zahlen berechenbar sind. Es wird in der Informatik üblicherweise angenommen, dass die These stimmt. Dadurch kann es ermöglicht werden, von einer Funktion nachzuweisen, dass sie nicht berechenbar ist.

[Bearbeiten] Entstehung

Turing empfand die Gedankenprozesse eines Menschen beim Zahlenrechnen durch die von ihm entwickelte Turingmaschine nach (in der Funktionsweise ähnlich den heutigen Computern) und analysierte deren Fähigkeiten [1]. Er stellte fest, dass viele Funktionen, die von einem Menschen ausgedacht werden können, erst gar nicht durch die Turingmaschine berechenbar sind, wie z. B. die Funktion des Halteproblems.

Zum anderen zeigte sich, dass auch andere Herangehensweisen, die menschliche Denkweise beim Rechnen zu formalisieren, nicht erfolgreicher waren: So wurde von Turing historisch zuerst die Äquivalenz von Churchs Lambdakalkül zur Turingmaschine bewiesen. Es folgten darauf viele weitere vorgeschlagene Algorithmenbegriffe (Rechenmodelle), die alle in ihrer Berechnungsfähigkeit nicht mehr leisteten als die Turingmaschine. Man bezeichnet diese Algorithmenbegriffe demzufolge als Turing-vollständig.

Dies ließ vermuten, dass es keinen mächtigeren Formalismus als den der Turingmaschine hinsichtlich der Berechenbarkeit gebe und der Mensch – ebenfalls algorithmisch arbeitend – auch nicht mehr Funktionen ausrechnen könne. Damit entstand die Church-Turing-These.

[Bearbeiten] Implikationen

Falls die These wahr ist, kann es kein Rechenmodell geben, das mehr als die bisherigen Modelle berechnen kann. Insbesondere ist ein Computer ein solches Rechenmodell, somit kann auf ihm theoretisch jeder Algorithmus ausgeführt werden, vorausgesetzt genügend Speicherplatz ist vorhanden. Es ist dann nicht möglich eine Rechenmaschine zu bauen, die mehr berechnen kann als ein Computer bereits kann. Da viele Programmiersprachen ebenfalls turing-vollständig sind, kann man jeglichen Algorithmus mittels eines Quelltexts dieser Sprachen ausdrücken. Insbesondere können sich verschiedene Rechenmodelle gegenseitig simulieren. Bei der erweiterten Church'schen These geht man noch einen Schritt weiter, indem man davon ausgeht, dass:

Für je zwei Rechenmodelle $R 1$ und $R 2$ gibt es ein Polynom $p$ , so dass $t$ Rechenschritte auf $R 1$ durch $p (t)$ Rechenschritten auf Modell $R 2$ simuliert werden können.

Falls die These falsch ist, gelten die genannten Implikationen nicht. Eine Widerlegung der These wäre mit der Konstruktion eines Hypercomputers möglich, der Berechnungen ausführen kann, die auf einer Turingmaschine nicht möglich sind.