Biholomorphe Abbildung

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Inhaltsverzeichnis

1 Mathematik
2 Einfache Beispiele.
3 Theoretische Grundlage
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Mathematik

In der Funktionentheorie ist eine biholomorphe Abbildung eine Abbildung w = f(z), die ein Gebiet G in der (komplexen) z-Zahlenebene bijektiv auf ein Gebiet G' in der w-Ebene abbildet und für die die Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist. (Die zweite Bedingung folgt bereits aus der ersten.) Eine biholomorphe Abbildung ist stets eine konforme Abbildung in dem folgenden Sinne: Der Schnittwinkel zweier Kurven der z-Ebene ist der Größe nach der gleiche wie der Schnittwinkel der Bildkurven in der zweiten Ebene und der Drehsinn bleibt erhalten.

Umgekehrt ist eine stetig differenzierbare Abbildung von G nach G' mit stetig differenzierbarer Umkehrung, die in dem oben beschriebenen Sinn konform ist, immer auch biholomorph.

[Bearbeiten] Einfache Beispiele.

[Bearbeiten] Die lineare Funktion

w = f(z) = az + b (mit a,b,w,z als komplexen Zahlen der Form z = x + iy) ergibt

für a = 1 und b nicht gleich Null eine Verschiebung (Translation)
für $a\not=1$ reell und positiv eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $a$ und Streckzentrum $\frac b{1-a}$ ;
für $| a | = 1$ und b = 0 eine Drehung. Verwendet man nämlich Polarkoordinaten für die Zahl z, so kann der "Punkt"z durch (r_z,φ_z) gekennzeichnet werden (s.Abb.1). Weil

Abb.1 Polarkoordinaten von z

z = r_z (cos φ + i sin φ)

ist, erhält man mit der Eulerformel

e^iφ = cos φ + i sin φ

w = az = r_ae^iφ_a . r_ze^iφ_z.

Wenn |a|=1 gesetzt wird, ist r_a = 1 und somit

w = r_z e^i(φ_a+φ_z).

Der Punkt Z (mit dem Argument (Bogenmaß) φ_z und dem Betrag r = r _z) geht somit in den Punkt W (mit φ_a+φ_z) und dem Betrag r_z über, das ist eine Drehung.

für |a| ungleich 1 und b = 0 eine Drehstreckung.

Beispielsweise führt die Drehstreckung w = (1+i)z den Punkt z = 2+3i in den Bildpunkt w = (1+i)(2+3i) = -1+5i über. Die Bildpunkte zweier weiterer Punkte, die mit dem ersten ein Dreieck bilden können, lassen sich ebenso berechnen, so daß das Bilddreieck gezeichnet werden kann und damit diese Drehstreckung sich leicht veranschaulichen lässt.

für |a| nicht gleich 1, und b nicht gleich 0 eine Drehstreckung mit Verschiebung.

[Bearbeiten] Inversion

Die Abbildung

w = f(z) = 1/z

heißt Inversion. Bei ihr wird das Innere des Kreises mit Radius = 1 (sog.Einheitskreis) auf das Äussere, das Äussere in das Innere abgebildet, der Rand des Kreises geht in sich selber über, 1 und -1 wird auf 1 und -1 abgebildet, das sind die beiden Fixpunkte der Inversion.

[Bearbeiten] Quadratfunktion

Bei der Quadratfunktion

w = f(z) = z²

ist f' nicht Null, wenn z nicht Null ist. Wählt man Definitions- und Zielbereich so, dass die Null nicht enthalten ist und die Einschränkung von $f$ bijektiv ist, erhält man folglich eine biholomorphe Abbildung. Man kann beispielsweise

$f\colon\{z\in\mathbb C\mid\operatorname{Re}z>0\}\to\mathbb C\setminus\{z\in\mathbb R\mid z\leq0\}$

wählen, also als Definitionsbereich die rechte Halbebene und als Zielbereich die entlang der negativen reellen Achse geschlitzte Ebene.

Aus w = u+iv = (x+iy)² = x²-y²+(2xy)i ergibt der Vergleich der Koeffizienten bei Real- und Imaginärteil

u=x²-y² und v=2xy.

Die zur x-Achse symmetrisch liegenden Hyperbeln (vgl.Abb.2)

Abb.2 Hyperbelschar und Parallelenschar

x²-y²=const gehen in vertikale Parallelen u = const über. Die zur ersten Winkelhalbierenden symmetrisch liegenden Hyperbeln 2xy = const gehen in waagrecht verlaufende Parallelen über.

[Bearbeiten] Theoretische Grundlage

Wesentliche (theoretische) Grundlage für die Möglichkeit, zwei Gebiete konform aufeinander abbilden zu können, ist der Riemannsche Abbildungssatz. Die einzigen konformen Abbildungen der Riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst sind übrigens die Möbiustransformationen.