Espai afí

De Viquipèdia

Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents a la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.

[edita] Definicions

Un espai afí sobre un cos $\mathbb{K}\,$ és el triplet $(A, E,\varphi )\,$ , on:

$A\,$ és un conjunt. $A\neq \emptyset\,$ .

$E\,$ és un espai vectorial sobre el cos $\mathbb{K}\,$ , en el que estan definides les operacions $+\,$ i $\times\,$ , amb els element neutres 0 i 1 respectivament.

$\varphi\,$ és una aplicació $\varphi :A\times A\rightarrow E\,$ , que compleix:

1.- $\varphi _{p}:A\rightarrow E\,$ , tal que $\varphi _{p}(q)=\varphi (p,q)\,$ , és una aplicació bijectiva $\forall p \in A\,$

2.- $\varphi (p,q)+\varphi (q,r)=\varphi (p,r)\,$ , $\forall p, q, r \in A\,$ .

[edita] Notació

Els elements del conjunt $A\,$ s'anomenaran punts.

Els elements de l'espai vectorial $E\,$ s'anomenaran vectors, i s'escriuran $\varphi (p,q)=\vec{pq}\,$ . O sigui que la segona condició anterior, es podrà escriure: $\vec{pq}+\vec{qr}=\vec{pr}\,$ .

$E\,$ és l'espai vectorial associat a $A\,$ .

Es defineix la dimensió de $A\,$ com la dimensió de $E\,$ .

[edita] Propietats elementals

$\overrightarrow{pq}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow p=q\,$

$\overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp}\,$

$\overrightarrow{pq}=\overrightarrow{rs}\Longleftrightarrow \overrightarrow{pr}=\overrightarrow{qs}\,$

[edita] Exemples d'espais afins

L'espai afí definit pel triplet $( \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2,\varphi )\,$ on definim $\varphi\,$ per $\varphi ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,$ .

És l'espai afí de dimensió 2, o sigui, el pla afí.

De forma més general, si $\mathbb{K}\,$ és un cos qualsevol, l'espai afí canònic sobre $\mathbb{K}\,$ de dimensió n és el triplet:

$\mathcal A^n ( \mathbb K ) = ( \mathbb K^n , \mathbb K^n , \varphi ) \,$

on $\mathbb K^n \,$ és vist a la vegada com un espai de punts i un $\mathbb K \,$ -espai vectorial, i l'aplicació $\varphi\,$ està definida per:

$\varphi ( ( x_1 , x_2 , \dots , x_n ) , ( y_1 , y_2 , \dots , y_n ) )= ( y_1 - x_1 , y_2 - x_2 , \dots , y_n - x_n )\,$

[edita] Varietats lineals

Sigui $(A,E,\varphi )\,$ un espai afí. Sigui $a \in A\,$ un punt qualsevol, i $F\,$ un subespai vectorial de $E\,$ . Es diu varietat lineal que passa per $a\,$ i té la direcció de $F\,$ , el subconjunt de $A\,$

$\left\{ b\in A|\overrightarrow{ab}\in F\right\} \,$

Aquesta varietat lineal es pot designar per: $a+F=\left\{ b\in A;b=a+u,u\in F\right\}\,$ .

[edita] Noció de paral·lelisme

En un espai afí $(A,E,\varphi )\,$ , dues varietats lineals $a+F, b+G\,$ són paral·leles si $F\sub G\,$ o $G\sub F\,$ .

Cinquè axioma d'Euclides : En un espai afí , donat un punt $a\,$ i una direcció qualsevol $F\,$ , existeix una única varietat que passa pel punt $a\,$ , i té a $F\,$ com a direcció.

Obtingut de "http://ca.wikipedia.org../../../e/s/p/Espai_af%C3%AD.html"

Categories: Geometria | Àlgebra