Angle

De Viquipèdia

Aquest article tracta sobre angle. Per a d'altres significats, vegeu Angle (desambiguació).

Un angle (del grec agkulos, encorbat, doblegat, a través del llatí angulus, cantonada) és la regió del pla compresa entre dues semirectes d'origen comú. Aquest punt comú rep el nom de vèrtex de l'angle (V), i les semirectes són els costats de l'angle. Per angle també es pot entendre la figura geomètrica que formen les dues semirectes d'origen comú.

Taula de continguts 1 Definició més rigorosa 1.1 Angles adjacents 1.2 Angles oposats pel vèrtex 1.3 Angle còncau 2 Mesura dels angles 2.1 Criteri de signes i altres convencions 3 Angles notables 3.1 Angle pla 3.2 Angle recte 3.3 Angle complet 4 Angles complementaris i angles suplementaris 5 Classificació dels angles en aguts i obtusos 6 Angles sobre superfícies guerxes 7 Suma d'angles interiors d'un polígon simple 8 Angle definit per un producte intern en un espai euclídic 9 Vegeu també

[edita] Definició més rigorosa

Una mica més rigorosament (per evitar la imprecisió del mot entre), per definir angle es procedeix com segueix:

Siguin dues rectes (a i b ) que intersequen en un punt V. Sigui π el pla que defineixen. Es veu que a divideix el pla π en dos semiplans i b també divideix enl pla π en uns altres dos semiplans. S'anomena angle convex (o angle) a cadascun del conjunt de punts que pertanyen a dos dels quatre semiplans (es formen doncs quatre angles).

[edita] Angles adjacents

Dos angles són adjacents quan els punts que els formen pertanyen a un mateix semiplà dels determinats per una de les rectes i a diferents semiplans dels determinats per l'altra recta.

És immediat veure que dos angles adjacents sumen un angle pla.

[edita] Angles oposats pel vèrtex

Dos angles són oposats pel vèrtex quan els punts que els formen pertanyen a diferents semiplans dels determinats per una i altra recta.

Dos angles oposats pel vèrtex són iguals.

Demostració: els quatre angles que apareixen en la intersecció de les rectes a i b sumen un angle complet. Sigui α la mesura d'un d'aquests angles. Per la propietat dels angles adjacents, es veu que els dos angles adjacents a α mesuren 180º-α. Sumant tots quatre angles i obligant a que sumin un angle complet s'obté que la mesura de l'angle oposat pel vèrtex a l'angle α és també α, QED.

[edita] Angle còncau

Definit un angle convex, el conjunt format pels seus dos angles adjacents i el seu angle oposat pel vèrtex s'anomena angle còncau.

[edita] Mesura dels angles

L'obertura dels angles és una magnitud que es pot mesurar mitjançant dues maneres diferents:

1. Amb el quocient entre la longitud (L) de l'arc limitat pels dos costats de l'angle d'una circumferència centrada al vèrtex i el seu radi (R). Aquest quocient és independent del radi de la circumferència i no té unitats. Tanmateix se sol indicar amb la pseudounitat radian (rad). . Els radians són molt usats en matemàtiques ja que no necessiten d'una convenció arbitrària i les funcions trigonomètriques presenten desenvolupaments senzills en sèrie de Taylor si el seu argument és expressat en radians. És per això que és la pseudounitat del Sistema Internacional d'Unitats.
2. Comparant-lo amb alguna divisió d'algun angle notable. Les comparacions més usuals són:

• amb la noventena part d'un angle recte (grau sexagesimal, de símbol º). En aquest cas, per subdivisions del grau sexagesimal, usualment s'utilitza la seixantena part del grau sexagesimal, el minut (´) i la seixantena part del minut, el segon ("). Els graus sexagesimals són els més usats en la vida quotidiana tot i que no tenen cap propietat interessant.
• amb la centena part d'una angle recte (grau centesimal o gon i de símbol ^g o ^G). Per a subdivisions del grau centesimal, usualment s'utilitza la centena part del grau centesimal, el minut (^m o ^c) i la centena part del minut, el segon (^s o ^cc). Els graus centesimals són molt usats en topografia ja que tenen la bona propietat de fer les divisions en base 100.
• amb l'angle complet (volta sencera).

Algunes equivalències apareixen tot seguit:

180º = 200^g = πradvolta sencera

1^g = 100^m = 10000^s = 1^G = 100^c = 10000^cc

1º = 60´ = 3600"

1rad = 57º17´44.8..."

Les màquines de calcular solen usar els símbols R, D i G per referir-se a radians, graus sexagesimals (en anglès, degrees) i graus centesimals (en anglès, grads) respectivament.

També és freqüent en angles petits, sobretot per mesurar inclinacions respecte la horitzontal, l'ús de la tangent de l'angle, sovint indicada en forma de percentatge. Llavors, es parla més aviat de pendent o rampa, però també s'està mesurant l'obertura d'un angle. En aquest cas, la tangent té un avantatge clar, i és que és la raó entre la distància vertical i la horitzontal (per exemple un pendent 4% significa que es recorren 4 metres de distància vertical per cada 100 metres de distància horitzontal). La tangent, coincideix aproximadament amb l'angle en radians quan aquest és petit.

[edita] Criteri de signes i altres convencions

En matemàtiques en el pla, universalment s'adopta el criteri de signes següent:

• Signe positiu per angles mesurats en sentit anitihorari.
• Signe negatiu per angles mesurats en sentit horari.

En matemàtiques en el pla, a més, s'enten com a mesura de l'angle d'una recta a l'angle que forma aquesta amb l'eix d'abscisses.

[edita] Angles notables

Per les seves característiques, cal considerar els següents tres angles:

[edita] Angle pla

L'angle pla és l'angle limitat per dues semirectes oposades. Mesura 180º, 200^g o π rad.

Dos angles que sumen un angle pla són suplementaris.

[edita] Angle recte

L'angle recte és aquell que és igual al seu suplementari. Mesura 90 graus sexagesimals (º), 100 graus centesimals (^g) o radians (rad) i és la meitat d’un angle pla.

Dos angles que sumen un angle recte són complementaris.

[edita] Angle complet

De 360º, 400^g o 2π rad.

[edita] Angles complementaris i angles suplementaris

Dos angles són complemetaris si sumen un angle recte.

Dos angles són suplementaris si sumen un angle pla.

[edita] Classificació dels angles en aguts i obtusos

Segons la seva comparació amb l'angle recte, els angles es classifiquen en:

• Angles aguts, si són estrictament menors que un angle recte.
• Angles rectes, si són iguals a un angle recte.
• Angles obtusos, si són estrictament majors que un angle recte.

[edita] Angles sobre superfícies guerxes

(aquest apartat, de moment és buit)

[edita] Suma d'angles interiors d'un polígon simple

En geometria euclidiana, la suma d'angles interiors d'un polígon simple d'n costats és de (n-2)·π radians o (n-2)·180º. Així, la suma d'angles interns d'un triangle és 180º i la d'un quadrilàter, 360º.

Demostració: (aquí cal inserir-hi una demostració del que s'acaba d'afirmar).

[edita] Angle definit per un producte intern en un espai euclídic

(aquest apartat, de moment és buit).

[edita] Vegeu també

• angle sòlid.
• Número pi.