Gateaux导数
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数学上，Gâteaux导数是微分学中的方向导数的概念的推广。它以R. Gâteaux命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的Fréchet导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，Gâteaux导数是非线性的。
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[编辑] 定义
开，且
F在
点沿着
方向的Gâteaux导数dF(u,ψ)定义为
如果极限存在。若极限对于所有存在，则称F在有Gâteaux导数。
称F是在U中连续可微的若
是连续的。
[编辑] 属性
若Gâteaux导数存在，则其为唯一。
对于每个，Gâteaux导数是一个算子
。 该算子是齐次的，使得
，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不象Fréchet导数。
[编辑] 例子
令X为一个在欧氏空间RN中的勒贝格可测集Ω上的平方可积函数的希尔伯特空间。泛函
由
给出，其中F是一个实变量的实值函数且
而u定义在Ω上取实值，则Gâteaux导数为
实际上，
令
(并假设所有积分有定义)，得到Gâteaux导数
也就是，内积
[编辑] 参看
- 导数 (推广)
