證明
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證明(使用了其他定理)
證明主要使用邏輯，但通常會包括少量自然語言，自然會產生一些不精確的部分。實際，若證明的大部分內容用文字形式的數學寫成，可以視為非形式化邏輯的應用。在證明論的範疇內，只考慮純形式化的證明，在數學中不完全為形式化的證明會喚作社交證明(social proof)。這個区别导致了对過往到現在的數學实践、數學上的擬經驗論和民间数学(或称大众數學)的大部分检验。數學哲學就關注語言和邏輯在數學證明中的角色，和作為語言的數學。
不需要或無法證明的敘述曾叫數學基本原理。和个人对形式主义的态度无关，证明为真的结果是一个定理；在完全形式化的证明中，它可以是最后一行，完整的证明展示它如何只从公理中得出。所谓数学基础就是那些无法也无需证明的命题，它曾是數學哲學家的基本研究。今日他們更關注數學實際運作。
[编辑] 常見的證明技巧
- 直接證明
- 邏輯地結合公理、定義和之前的定理以成結論
- 間接證明
- 數學歸納法
- 證明了某些基本情況，然後顯示序列（通常是無限）的其他情況也是屬於該本礎情況或建基於基本情況
- 反證法
- 假設某性質為真，則會出現矛盾，所以該性質為假
- 構造法
- 構造一個帶有特定性質的實例，顯示存在該性質的物體存在
- 個案分析
- 將結論分成有限的個案，然後逐個證明
在大部分的公理系統，有些敘述不能被證或推翻，例如連續統假設；見哥德爾不完備定理。
[编辑] 參見
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