西爾維斯特-加萊定理
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西爾維斯特–加萊定理（Sylvester–Gallai theorem）說明若在平面上有有限數目的點，它們不是全部共線，就是有一條線上剛好有兩點。
1893年，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將問題提出，1944年蒂博爾·加萊證明了這個定理。這個定理在無限點的情況並不成立，可以考慮格點
。貝克定理和這個定理內容相近。
[编辑] 證明
以下使用無窮遞降法：
- 在平面上有有限多點，若它們都共線，那我們就找到想要的東西；若非，定義一條「連線」為一條連起來至少有兩點的線。設I為一條連線，因為不是所有點都共線，至少有一點P不屬於I。
- 若I不是有剛好兩點，I便至少有三點，稱為A,B,C。不失一般性，設B在A和C之間，因為
，所以兩隻角不可能同時是鈍角。不失一般性設
不是鈍角，而是銳角或直角。 - 設連結C和P的線為m，m是不包括B的連線，而且B和m的距離比P和I的距離小。
- 以B和m取代第二步的P和I。這個動作不可能無窮次重覆，因為若能無窮次重覆，連線和某一不在連線上的點距離便會得出一個無窮遞降的序列，但只有有限個點和有限條連線，這是不可能的。因此，至少有一條線剛好有兩點。
