环同态
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[编辑] 理想
令R是环， 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：
- (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
- 对于任意
和 
有 
。
类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：
- (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
- 对于任意 和 有
。
如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做理想。
令I是R的理想。如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
真理想I被称为R的极大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。
真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A, B, 
有 
或 
。
（下面的内容不符合数学写作规范，也有错误，需要重写。）
ik 是I的元素及 rk 是R的元素,我們可以說I是有限地產生。如果I是由一個元素產生的，我們I稱為主理想。
如果A是R環的任意子集合，我們可以說A所產生的理想是最小理想；記作<A>或(A)並且包含所有有限總和
r1a1s1 + ··· + rnansn
其中每个ri和si属于R而每个ai属于A。上述主理想是最小理想在A为单集{a}时的特殊情况。
[编辑] 同態
環同態是指兩個環之間的函數適合加法與乘法。
當R與S都是環，環同態是函數f : R → S 導致
- f(1) = 1
(如果這個環不需要乘法單位元，便忽略最後的條件。)
兩個環同態合併都是環同態。
