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排容原理

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三個集的情況

排容原理又称容斥原理，在組合數學里，其說明若 $A 1$ , ..., $A n$ 為有限集，則

$\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right| -\sum_{i,j\,:\,i\neq j}\left|A_i\cap A_j\right|$ $+\sum_{i,j,k\,:\,i\neq j\neq k\neq i}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\cdots\ \pm \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$

其中 $| A |$ 表示 $A$ 的基數。例如在兩個集的情況時，我們可以透過將 $| A |$ 和 $| B |$ 相加，再減去其交集的基數，而得到其并集的基數。

排容原理亦可用於機率的計算上：

$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) -\sum_{i,j\,:\,i\neq j}P\left(A_i\cap A_j\right)$ $+\sum_{i,j,k\,:\,i\neq j\neq k\neq i}P\left(A_i\cap A_j\cap A_k\right)-\ \cdots\cdots\ \pm P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)$

在大部分情況，排容原理都可以提供精確的公式，例如在數論上，排容原理可以在使用埃拉托斯特尼篩法時計算出質數的數目。

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E6%8E%92/%E5%AE%B9/%E5%8E%9F/%E6%8E%92%E5%AE%B9%E5%8E%9F%E7%90%86.html”

页面分类: 离散数学

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