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平移

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在歐幾里德幾何，平移是將物件的每點向同一方向移動相同距離。

它等矩同構，是歐幾里德空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若 $\mathbf{v}$ 是一個已知的向量， $\mathbf{p}$ 是空間中一點的位置向量，平移 $T_{\mathbf{v}}\mathbf{p}=\mathbf{p}+\mathbf{v}$ 。

將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即 $T_{\mathbf{v}}(T_{\mathbf{u}}(\mathbf{p}))=T_{\mathbf{v}+\mathbf{u}}(\mathbf{p})$ ，因此所有平移的集是一個群，稱為平移群。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正則子群。

T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。

[编辑] 矩陣表示

例如在三維空間，使用齊次座標， $T_{\mathbf{v}}$ 可用矩陣表示為

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 。

平移的結果 $T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})$ 就是：

$T_{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 。

平移的逆矩陣： $T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}}$ 。兩個平移矩陣的積就是兩次平移的結果： $T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}}$ 。因為向量加法符合交換律，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E5%B9%B3/%E7%A7%BB/_/%E5%B9%B3%E7%A7%BB.html”

页面分类: 欧几里德几何

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