对偶空间

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对偶空間構造是 行向量(1×n)與列向量(n×1)的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分布及希爾伯特空間提供重要的觀點。对偶空間的應用是泛函分析理論的一特徵。 傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。

目录 1 代數的对偶空间 1.1 例子 1.2 線性映射的轉置 1.3 雙線性乘積及对偶空間 1.4 到雙对偶空間内的單射 2 連續對偶空間 2.1 例子 2.2 进一步的性質

[编辑] 代數的对偶空间

設V為 在域F上的向量空間，定義其对偶空間V^* 為由V到F的所有線性函數的集合。 即是V的標量線性變換。V* 本身是Ｆ的向量空間並且擁有加法及標量乘法：

∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在張量的語言中,V的元素被稱為逆變(contravariant)向量而V*的元素被稱為協變(covariant)向量,同向量(co-vectors)或一形(one-form)。

[编辑] 例子

如果V是有維限的,V*的維度和V的維度便相等; 如果{e₁,...,e_n}是V的基，V* 便應該有相對基 {e¹,...,eⁿ}，記作：

如果V 是平面幾何向量的空間，V* 便是一組組的平衡線。我們能從平衡線應用到任何向量產生一個標量。

如果V是無限維度，eⁱ 不能產生V* 的基;而V* 的維度比V的大。

例如空間R^(ω)的元素是實數列，其擁有很多非零數字。R^ω的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(a_n) 被用於元素(x_n) 而產生∑_na_nx_n。

[编辑] 線性映射的轉置

設 f: V -> W 是線性映射。 f 的轉置 ^tf : W* → V* 定義為

   ∀ φ ∈ W*.

f |-> ^tf 產生 一 單射 between the 空間 of 線性映射 from V to W and the 空間 of 線性映射 from W* to V*; this 線性映射 is an 同構 iff W is 是有維限的. 若 線性映射 f 表示作其 矩陣 A with respect to two 基 of V and W, 則 ^tf 表示作其 轉置矩陣 ^tA with respect to the 對偶基 of W* and V*. 若 g: W → X 是另一線性映射, 則 ^t(g o f) = ^tf o ^tg.

在范畴理論的語言裡,為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置 都是向量空間范畴的逆變函子。

[编辑] 雙線性乘積及对偶空間

正如所見，如果V擁有有限維度，V跟V*是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的V的基。事實上，任意同構Φ (V → V*) 在V上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由V映射到V*的同構。

[编辑] 到雙对偶空間内的單射

存在一個由V到其雙对偶V**的自然映射Ψ ，定義為

(Ψ(v))(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.

Ψ 常是單射; 当且仅当V的維數有限時, Ψ 是個同構。

[编辑] 連續對偶空間

處理拓墣向量空間時, 吾人一般只感興趣於 由該空間射到其基域的 連續線性泛函。 This gives rise to the 概念 of the 連續對偶空間 which is a 線性子空間 of the 代數 对偶空間. The 連續對偶 of a 向量空間V is denoted V′. When the context is clear, the 連續對偶 may just be called the 對偶.

The 連續對偶 V′ of a 線性賦範向量空間 V (e.g., a 巴拿赫空間 or a 希爾伯特空間) 產生一個線性賦範向量空間. The 範數 ||φ|| of a 連續線性泛函 on V is defined by

This turns the 連續對偶 into a 線性賦範向量空間, indeed into a 巴拿赫空間.

[编辑] 例子

For any finite-dimensional 線性賦範向量空間或拓墣向量空間，正如歐德空間，the 連續对偶 and the 代數对偶 coincide.

Let 1 < p < ∞ be a 實數 and consider the 巴拿赫空間 l ^p of all sequences a = (a_n) for which

is finite. Define the number q by 1/p + 1/q = 1. Then the 連續对偶 of l ^p is naturally identified with l ^q: given an element φ ∈ (l ^p)', the corresponding element of l ^q is the sequence (φ(e_n)) where e_n denotes the sequence whose nth term is 1 and all others are zero. Conversely, given an element a = (a_n) ∈ l ^q, the corresponding 連續線性泛函 φ on l ^p is defined by φ(a) = ∑_n a_n b_n for all a = (a_n) ∈ l ^p (see Hölder's 不等式).

In a similar manner, the 連續对偶 of l ¹ is naturally identified with l ^∞. Furthermore, the 連續对偶 of the 巴拿赫空間 c (consisting of all convergent sequences, with the supremums 範數) and c₀ (the sequences 收斂 to zero) are both naturally identified with l ¹.

[编辑] 进一步的性質

If V is a 希爾伯特空間, then its 連續对偶 is a 希爾伯特空間 which is anti-isomorphic to V. This is the content of the Riesz representation theorem, and gives rise to the bra-ket notation used by 物理學人 in the 數學描述 of 量子力學.

類似 the case of the 代數 double 对偶, there is always a naturally defined injective 連續線性算子 Ψ : V → V '' from V into its 連續double 对偶 V ''. This map is in fact an isometry, meaning ||Ψ(x)|| = ||x|| for all x in V. Spaces for which the map Ψ is a 雙射 are called reflexive.

The 連續对偶 can be used to define a new 拓墣 on V, called the 弱拓墣.

If the 对偶of V is separable, then so is the space V itself. The converse is not true; the space l₁ is separable, but its 对偶 is l_∞, which is not separable.