多值代数
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在数学中多值代数是 Jan Lukasiewicz 最初为多值逻辑研究的代数结构。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的等式也在所有多值代数中成立。通过这个定理，证明了无穷值的Lukasiewicz 逻辑可以被多值代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的等式在任何布尔代数中也成立，布尔代数因此刻画了标准二值逻辑。
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[编辑] 定义
多值代数是一个代数 
，使得 
是满足下列等式的一个交换性幺半群
，
，和
。
一个简单的例子是 A = [0,1]，带有定义为 
和 
的运算。
或者作为替代，多值代数是一个剩余格 
，使得 
。
Hájek 描述了这两个公式的等同。
[编辑] 应用
在多值逻辑中，给定一个多值代数 A，一个 A-求值就是从命题演算中公式的集合到多值代数的函数。如果对于所有 A-求值这个函数映射一个公式到 1 (或 
0)，则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑(比如模糊逻辑、Lukasiewicz 逻辑)，我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-求值和 [0,1]-重言式(经常就叫做求值和重言式)。
[编辑] 引用
- Petr Hájek, Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer, Dordrecht, 1998.
- Roberto L.O. Cignoli, Itala M.L. D'Ottaviano, Daniele Mundici, Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer, Dordrecht, 2000.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Many-valued logic
