势

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在數學裡，一個集合的勢是指「集合內的元素個數」。勢有兩個處理方法–一個是直接用單射、滿射與雙射來比較集合的勢，另一個則是使用基數。

[编辑] 集合比較

A和B若被稱為有相同的勢，即表示它們之間存在一備雙射函數，即由A到B的一單射且滿射函數。舉例來說，正偶數集合E={2,4,6,...}和自然數集合N={1,2,3,...}有著相同的勢，因為函數f(n)=2n是一由N到E的雙射函數。

若說A的勢大於或等於B的勢的話，即表示它們之間存在一個由B到A的單射函數。若說A的勢絕對大於B的勢的話，即表示A的勢會大於或等於B的勢，但A和B的勢不會相等，即存在一由B到A的單射函數，但不存在一由A到B的雙射函數。例如，實數集合R的勢絕對大於自然數集合N的勢，因為內含映射i : N → R 是單射的，且可證明不存在一由N到R的雙射函數。

[编辑] 可數與不可數集合

假設選擇公理成理，三分法就會成立於所有的勢中，所以可以有以下的定義。

任何勢少於自然數的集合稱為有限集合。
任何勢和自然數一樣的集合稱為可數無限集合。
任何勢大於自然數的集合稱為不可數集合。

[编辑] 基數

主條目：基數

注意，到目前為止，我們只定義了勢在函數內的作用：我們沒有真正地定義一個集合的勢為其自身具體的物件。現在將略述此一處理方法。

有相同勢的關係稱做等勢，而這是一種在所有集合的類上的等價關係。一集合A在此關係的等價類包含所有和A等勢的集合。然後，接下來可以有兩種定義「一集合的勢」的處理方式。

一集合A的勢被定義成在等勢下的等價類。
明述出等價類中一特定類的表示。最一般的選擇是馮·諾伊曼基數指派。它通常被取為公理集合論中基數的定意。

集合 $S$ 的勢標記為 $| S |$ 。其冪集的勢則標記為 $2 | S |$ 。

無限集合的勢標記為 $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < ...$ (對每一個序數 $α$ ， $\aleph_{\alpha+1}$ 是第一個大於 $\aleph_\alpha$ 的勢)。

自然數的勢標記為 $\aleph_0$ ，而實數的勢則被標記為 $\mathbf{c}$ 。可以證明 $\mathbf{c}=2^{\aleph_0} > {\aleph_0}$ 。(請看對角論證法)。連續統假設說道不存在介於實數的勢和自然數的勢之間的基數，亦即 $\mathbf{c}=\aleph_1$ 。