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凸集

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凸集

非凸集（凹集）

非凸集（凹集）

設 $S$ 為在實或複向量空間的集。若對於所有 $x,y \in S$ 和所有 $t \in [0,1]$ ，有 $(1-t)x + ty \in C$ ，則稱 $S$ 為凸集。簡單而言，就是 $S$ 中的任何兩點之間的直線段都屬於 $S$ 。凸集是連通的。

對於非歐平面，可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

若 $S$ 既是凸集又是平衡集，則稱 $S$ 為絕對凸的。

實數的凸集是區間。歐幾理德平面上的凸集有每隻角都少於180度的多邊形、一些曲線如常寬圖形等。

若集 $S$ 中存在一點 $x 0$ ，使得由 $x 0$ 到 $S$ 中任何一點的直線段都屬於 $S$ ，則稱 $S$ 為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。

[编辑] 性質

若 $S$ 是凸集，對於任意 $u_1,u_2,\ldots,u_r \in S$ ，及所有非負數 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r$ 滿足 $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1$ ，都有 $\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k \in S$ 。這個向量稱為 $u_1,u_2,\ldots,u_r$ 的凸組合。

[编辑] 參見

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E5%87%B8/%E9%9B%86/_/%E5%87%B8%E9%9B%86.html”

页面分类: 数学分析

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