Теорія множин
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин. Теорія множин лежить в основі більшості математичних дисциплін; вона зробила глибокий вплив на розуміння предмету самої математики.
[ред.] Наївна теорія множин
До другої половини 19 століття поняття «множини» не розглядалося як математичне («безліч книг на полиці», «безліч людських чеснот» і т.д. — все це чисто побутові обороти мови). Становище змінилося, коли німецький математик Георг Кантор розробив свою програму стандартизації математики, в рамках якої будь-який математичний об'єкт повинен був виявлятися тією або іншою «множиною». Наприклад, натуральне число, за Кантором, слід було розглядати як множину, що складається з єдиного елемента іншої множини, званої «натуральним рядом» — який, у свою чергу, сам є множиною, що задовольняє так званим аксіомам Пеано. При цьому загальному поняттю «множини», що розглядалося ним як центральне для математики, Кантор давав мало не визначальні визначення ніби «множина є багато що, мислиме як єдине», і т.д. Це цілком відповідало умонастрою самого Кантора, підкреслено називаючи свою програму не «теорією множин» (цей термін з'явився багато пізніше), а вченням про множини (Mengenlehre).
Програма Кантора викликала різкі протести з боку багатьох сучасних йому крупних математиків. Особливо виділявся своїм непримиренним до неї ставленням Леопольд Кронекер, що вважав, що математичними об'єктами можуть вважатися лише натуральні числа і те, що до них безпосередньо зводиться (відома його фраза про те, що «бог створив натуральні числа, а все інше — справа рук людських»). Проте, деякі інші математики — зокрема, Готлоб Фреге і Давид Гільберт — підтримали Кантора в його намірі перекласти всю математику на теоретико-множинну мову.
Проте незабаром з'ясувалося, що установка Кантора на необмежена воля при операції з множинами (виражений ним самим у принципі «суть математики полягає в її свободі») є першопочатуово порочним. А саме, було знайдено ряд теоретико-множинних антиномій: виявилося, що при використанні теоретико-множинних уявлень деякі твердження можуть бути доведенф разом з своїми запереченнями (а тоді, згідно правилам класичної логіки висловів, може бути «доведено» абсолютно будь-яке твердження!). Антиномії ознаменували собою повний провал програми Кантора.
[ред.] Аксіоматична теорія множин
На початку 20 століття Бертран Рассел, вивчаючи наївну теорію множин, прийшов до парадоксу (з тих пір відомому як парадокс Рассела). Таким чином, була продемонстрована неспроможність наївної теорії множин і, пов'язаної з нею канторівскої програми стандартизації математики.
Після виявлення антиномії Рассела частина математиків (наприклад, Л. Е. Я. Брауэр і його школа) вирішила повністю відмовитися від використовування теоретико-множинних уявлень. Інша ж частина математиків, очолена Д. Гільбертом зробила ряд спроб обґрунтувати ту частину теоретико-множинних уявлень, яка здавалася ним якнайменше відповідальною за виникнення антиномій, на основі явно надійної фінітної математики. З цією метою були розроблені різні аксіоматизації теорії множин.
Особливістю аксіоматичного підходу є відмова від, закладеного у програму Кантора, уявлення про дійсне існування множин в деякому ідеальному світі. В рамках аксіоматичних теорій множини «існують» виключно формальним чином, і їх «властивості» можуть істотно залежати від вибору аксіоматики. Цей факт завжди був мішенню для критики з боку тих математиків які не погоджувалися (як на тому наполягав Гільберт) визнати математику, позбавленої всякого змісту, грою в символи. Зокрема, Н. Н. Лузін писав, що «потужність континууму, якщо тільки мислити його як безліч точок є єдина якась реальність», місце якої у ряді кардинальних чисел не може залежати від того, чи признається як аксіома континуум-гіпотеза, або ж її заперечення.
В даний час найпоширенішою аксіоматичною теорією множин є ZFC — теорія Цермело-Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечність цієї теорії (а тим більше — про існування моделі для неї) залишається невирішеним.
