Теорема косинусів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В тригонометрії, Теорема косинусів це твердження про властивість довільних трикутників котре є узагальненням теореми Піфагора. Нехай a, b, і c це сторони трикутника, а A, B, і C це його кути протилежні вказаним сторонам. Тоді,

$c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos C . \;$

Ця формула корисна для знаходження третої сторони трикутника якщо відомі решта дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.

Із теореми косинусів

$c^2 = a^2 + b^2 \;$ ⇔ $\cos C = 0 . \;$

Твердження cos C = 0 означає що C є прямим кутом, оскільки a і b додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Зміст

1 Доведення (для гострого кута)
2 Доведення теореми косинусів використовуючи вектори
3 Див також
4 Посилання

[ред.] Доведення (для гострого кута)

Трикутник

Нехай a, b, і c це сторони трикутника а A, B, і C це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B що утворює прямий кут із протилежною стороною, b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді $\sin C = \frac{x}{a} , \;$ звідки $x=a \cdot \sin C . \;$

Це означає, що довжина цього відрізку $a \cdot \sin C. \;$ Схожит чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна $a \cdot \cos C. \;$ Решта довжини b рівна $b - a \cdot \cos C. \;$ Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами $a \cdot \sin C , \;$ $b - a \cdot \cos C , \;$ і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

$c^2 = (a \cdot \sin C)^2 + (b - a \cdot \cos C)^2 \;$
$c^2 = a^2 \cdot \sin^2 C + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C + a^2 \cdot \cos^2 C \;$
$c^2 = a^2 \cdot (\sin^2 C + \cos^2 C) + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;$
$\sin^2 C + \cos^2 C \;$ завжди 1, отже
$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;$

[ред.] Доведення теореми косинусів використовуючи вектори

Використовуючи вектори, ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що: